1.ÜNİTE
Doğal sayıların çarpanlarını bulmayı, asal sayılar ve
bir doğal sayının asal çarpanlarını bulmayı 6. Sınıfta öğrenmiştik. 8. sınıf
çarpanlar ve katlar konusunun ilk kazanımı olan bu konuda ise bunları
hatırlayıp, pozitif tam sayıları üslü ifade veya üslü ifadelerin çarpımı
şeklinde yazmayı öğreneceğiz.
BİR DOĞAL SAYININ
ÇARPANLARI
Her doğal sayı,
iki veya ikiden çok doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu sayıların
her birine o sayının çarpanı adı verilir. Bu çarpanlar aynı zamanda o sayıyı kalansız böldüğü
için bir doğal sayının çarpanları aynı zaman da bölenleridir.
ÖRNEK: Ayşe
öğretmen öğrencilerinden alanı 60
ve kenar uzunlukları cm
cinsinden birer tam sayı olan birer dikdörtgen çizmelerini istiyor. Çevre
uzunluğu en az olan dikdörtgeni çizenlere ödül vereceğini söylüyor. Ödülü Fatma
kazandığına göre Fatma’nın verdiği cevap nedir?
ÇÖZÜM: Soruyu çözebilmek için
öncelikle 60’ ın çarpanları bulmamız gerekir.
1)1.60=60 olan dikdörtgenin çevresi
1+60+60+1 = 122
2)2.30=60
olan dikdörtgenin çevresi
2+30+30+2= 64
3)3.20=60 olan dikdörtgenin çevresi
3+20+20+3= 46
4)4.
15= 60 olan dikdörtgenin çevresi
4+15+15+4= 38
5)5.12=
60 olan dikdörtgenin çevresi
5+12+12+5=34
6)6.10=
60 olan dikdörtgenin çevresi
6+10+10+6=32
Yukarıdaki
hesaplamalara göre Fatma’nın seçtiği dikdörtgen 6.10 olan dikdörtgendir.
Bu soruyu çözerken 60
sayısını çarpanlarına ayırdık. Ayrıca bir sayının çarpanları ve bölenlerinin
aynı sayılar olduğunu görmüş olduk.
ASAL SAYILAR
VE ÇARPANLAR
Bildiğimiz üzere
çarpanları (bölenleri) sadece 1 ve kendisi olan 1’den büyük sayılara asal sayılar
denir. Bir sayının çarpanlarından asal olanlara ise asal çarpanlar denir.
Eratosthenes (Eratostenes) Kalburu
Eratosthenes
(Eratostenes) Kalburu belirli bir tamsayıya kadar yer alan asal
sayıların bulunması için kullanılan bir yöntemdir. Daha hızlı ve karmaşık
olan Atkin kalburunun atası sayılır. Eski
Yunan'da Eratosten tarafından geliştirilmiştir.
1’e asal sayı olmadığı
için çarpı işareti koyulur. 2’i bir asal sayı olduğu için daire içine
alınır, daha sonra 2’nin tüm katlarına çarpı işareti koyulur. 3 de daire
içine alınır ve katlarına çarpı işareti koyulur. Ondan büyük olan 5 daire
içine alınır ve katlarına da çarpı işareti koyulur. 100’e kadar olan tüm
sayılara bu işlemi uygularsanız, 100’e kadar olan asal sayıları bulursunuz.
Bulduğunuz asallarla 1000’e kadar olanları, onlarla 1.000.000’a kadar
olanları da bulursunuz ve bu sonsuza kadar gider. Bu yönteme
Eratosthenes’in Kalburu denir.
ERATOSTHENES KİMDİR?
Yunanlı astronom,
coğrafyacı, matematikçi ve filozof olan Eratosthenes, M.Ö. 284
yılında Kuzey Afrika'da doğdu.
Eratosthenes, felsefe, gramer, kronoloji ve coğrafya gibi çok çeşitli alanlarda
çalıştı. Bu çalışmaları sonucunda çok önemli sonuçlar gerçekleştirdi. Fakat, o
daha çok matematikçi olarak iki buluşuyla tanınır. Banlardan ilki, asal
sayıların bulunmasına yarayan ve kendi adını taşıyan ünlü Eratosthenes
Kalburu’dur. İkincisi, orta orantılı problemin çözümü için tasarladığı bir
hesap aletidir.
🌈 Eğer Eratosthenes hakkında daha çok bilgi edinmek isterseniz
şu videoyu da izleyebilirsiniz; https://www.youtube.com/watch?v=4wPJqs6ESBE
ÖRNEK: 220
₺ borcu olan Ahmet borcunu taksite bölerek ödeyecektir. Her taksitinde
ödeyeceği miktar ise 220’in en büyük asal bölenidir. Buna göre Ahmet borcunu
kaç taksitte ödeyecektir?
CEVAP:
Öncelikle 220’nin çarpanlarını bulup asal olanlarını alalım.
2,5,11 asal çarpanlarıdır. Bunlardan en
büyüğü ise 11’dir. 220÷11 = 20 olduğu için Ahmet borcunu 20 taksitte ödeyecektir.
Aşağıdaki sayıların aralarında asallık durumunu inceleyelim.
- 15 ve 22
15’i çarpanlarına ayıralım: 1,3,5 ve 15
22’yi çarpanlarına ayıralım: 1,2,11 ve 22
Gördüğümüz gibi bu iki sayının tek ortak çarpanı
1’dir.
Yani bu iki sayı aralarında asaldır.
- 7 ve 21
7’yi çarpanlarına ayıralım: 1 ve 7
21’i çarpanlarına ayıralım: 1,3,7 ve 21
Gördüğümüz gibi bu iki sayının ortak
çarpanları 1 ve 7’dir.
1’den farklı bir çarpan olduğu için bu
iki sayı aralarında asal değildir.
NOT: Birbirinin
katı olan sayılar aralarında asal olamazlar.
- 11 ve 17
11’i çarpanlarına ayıralım: 1 ve 11
17 sayısını çarpanlarına ayıralım: 1 ve
17
Gördüğümüz gibi bu iki sayının tek ortak
çarpanı 1’dir.
Yani bu iki sayı aralarında asaldır.
NOT: İki asal sayı her zaman
aralarında asaldır.
Şimdi de ardışık sayı olan 19 ve 20 sayıları aralarında asal mı
bakalım.
19 sayısının çarpanları: 1 ve 19
20 sayısının çarpanları: 1,2,4,5,10 ve 20
Gördüğümüz gibi bu iki sayı aralarında asal sayılardır.
Matematiğin hayatımızın her yerinde olduğunun farkındayız. Peki
acaba matematik hangi günlerde çalışacağımızı, bugün içeceğimiz kahvenin
bardağının büyüklüğünü belirleyebilir mi?
EBOB (en büyük ortak bölen) ve EKOK (en küçük ortak kat)
işlemleri sayesinde hayatımızın birçok alanındaki detayları şekillendiriyoruz.
Şimdi EBOB ve EKOK nedir onu inceleyelim.
EBOB-EKOK
EBOB:
Daha önce sayıların çarpanlarını yani bölenlerini bulmayı
öğrenmiştik.
Sıfırdan farklı en az iki doğal sayının ortak doğal sayı
bölenlerinin en büyük olanına bu sayıların en büyük ortak böleni denir.
En büyük ortak bölen kısaca EBOB biçiminde gösterilir.
ÖRNEK: Elif yerli malı haftası
için okula annesiyle birlikte yaptığı meyve sularından götürecektir.
Elif ve annesi 12 litre portakal suyu, 9 litre elma suyu
yapmışlardır. Elif bu meyve sularını eşit hacimdeki şişelere koyarak okula
götürmek istiyor. Buna göre en az kaç şişe kullanmalıdır?
ÇÖZÜM: Öncelikle
sayıların ortak bölenlerini bulmamız için sayıların çarpanlarını ayırmamız
gerekir.
Bu sayıların ortak böleni yukarıda gördüğümüz gibi 3 gelmiştir.
O halde Elif meyve sularını 3’er litrelik şişelere koyacaktır.
Portakal suyu için gerekli olan şişe sayısını 12:3 işleminden 4 şişe bulur.
Elma suyu için gerekli olan şişe sayısını 9:3 işleminden 3 şişe
bulur.
Elif’in toplam kullandığı şişe sayısı 7’dir.
EKOK:
Sıfırdan farklı en az iki doğal
sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir.
Kısaca EKOK biçiminde
gösterilir.
ÖRNEK:
Sevil öğretmen sınıfındaki öğrencilere hediye etmek için şeker
almıştır. Bu şekerleri her öğrenciye üçer üçer dağıttığında elinde 1 şeker
kalmaktadır. Sevil öğretmen elinde şeker kalmasını istemediği için bu sefer
şekerleri dörder dörder dağıtmayı denemiştir fakat yine elinde 1 şeker
kalmıştır.
Buna göre sınıf mevcudu en az kaçtır?
ÇÖZÜM:
Önce bu iki sayının ortak katlarını görmek için sayıların ayrı
ayrı katlarını alalım.
3’ün katları: 3,6,9,12,15,18,21,24,27…
4’ün katları: 4,8,12,16,20,24,28…
Yukarıda gördüğümüz gibi iki sayının en küçük ortak katı 12
gelmiştir.
Fakat Sevil öğretmenin elinde her seferinde 1 şeker daha
kalmıştır. Bu nedenle 12’ye 1 ekleyelim.
13 sayısını 3’e ve 4’e böldüğümüzde de kalan 1’dir.
O halde sınıf mevcudu en az 13’tür.
Şimdi de çarpanlar ve katlar konusunu
pekiştirmek için aşağıdaki oyunumuzu oynayalım.
KENDOKU OYUNU:
KENDOKU ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ:
|
SORULAR
ÇÖZÜM:
Başlangıçta
bilmeliyiz ki 8 kg domates = 1 kg salça
Ayten teyzenin yaptığı salça 3 kilogramlık şişelere
koyulduğunda da 5 kilogramlık şişelere koyulduğunda artan hiç salça olmadan tüm
şişeler dolmaktaymış. Demek ki Ayten teyzenin yaptığı salça hem 3’e hem de 5’e
tam bölünmelidir.
O zaman 3 ve 5’in EKOK’unu bulmalıyız. Ekok(3,5)=15.
Buna göre salçanın kilogramı 15’in katı olmalıdır.
Eğer Ayten teyze 3 kilogramlık şişeleri kullanırsa
10’dan fazla şişeye ihtiyaç duyuyormuş. 15 kg salça olduğunu düşünürsek 5
şişeye ihtiyacımız olacak. 30 kg salça olduğunu düşünürsek ise 10 şişeye
ihtiyacımız olacak. Fakat şişe sayımız 10’dan fazla olmalı. Buna göre Ayten
teyze en az 45 kg salça yapmış olmalı ki kullandığı şişe sayısı 15 olsun.
Sorumuzda ise kullanılan domates miktarı soruluyor. 8
kg domatesten 1 kg salça yapıldığına ve Ayten teyze 45 kg salça yaptığına göre
kullanılan domatesin kilosu 45.8 = 360
kilogramdır.
Çözdüğümüz bu soruyu EKOK
kullanarak yaptık. EKOK kullanmamız gereken bir diğer soruyu da hadi siz
çözmeye çalışın.
Cevap: A
ÇÖZÜM: Bu ürünleri birbirine
karıştırmadan eşit ağırlıkta paylaştırmak için paketlerin ağırlıklarının 60,90
ve 115’in ortak çarpanı(böleni) olması gerekir.
Bu çarpanlar arasındaki en yüksek değeri bulmak için
en büyük ortak böleni yani EBOB’u bulmamız gerekir.
O halde beraber 60,90 ve 115’in ortak bölenini
bulalım.
EBOB(60,90,115)=5 olduğu için, en fazla 5’er
kilogramlık paketler kullanılır.
Nohut için paket sayısı 60:5=12’dir.
Fasulye için paket sayısı 90:5=18’dir.
Bulgur için paket sayısı 115:5=23’dür.
Toplamda 12+18+23 işleminden 53 paket kullanılmalıdır.
Çözdüğümüz bu soruyu EBOB kullanarak yaptık. EBOB
kullanmamız gereken bir diğer soruyu da hadi siz çözmeye çalışın.
CEVAP:
C
Şeklinde göstermeyi 5.sınıfta görmüştük şimdi gördüklerimizi
biraz daha ilerleterek üslü ifadeyle ilgili temel kavramları öğreneceğiz.
PEKİ ÜSLÜ SAYILARI NEDEN ÖĞRENİYORUZ?
Dünyanın güneşe olan uzaklığı, yıldızlar
ve gezegenlerin birbirlerine olan uzaklıkları, bir hidrojen atomunun yarıçapı
gibi çok büyük veya çok küçük sayıları ifade etmek ve bunlarla işlemler yapmak
için üslü sayıları öğreniyoruz.
Bazen üslü ifadeler içeren
denklemlerle karşılaşırız. Örneğin zamana bağlı olarak bir bakteri
popülasyonunun günde iki katına çıktığını keşfeden bir bilim insanı için kaç
saat sonrası bakteri nüfusunu 256 milyon olduğunu bulmak için üslü ifadeli bir
denkleme ihtiyaç duyar.
Böyle bir ihtiyaç duyulması
halinde denklemlerin ve sayıların üslü ifadeler şeklinde yazılması işlemlerde
kolaylıklar sağlar.
Evet, üslü sayıları yazdığınızı görür gibiyiz. O zaman üslü sayıların bilmemiz gereken özelliklerini aşağıdaki arkadaşlarımızdan öğrenelim.
Bilgi Kutusu 📦
1596-1650 yılları arasında
yaşayan Rene Descartes tarihte
ilk üslü sayı gösterimini kullanan kişidir. Aslında üslü sayıların ortaya çıkış
hikayesi Pisagor’a kadar dayanmaktadır. Kendi adını verdiği teoreminde dik
kenarların uzunluklarının karelerinin toplamının hipotenüsün uzunluğunun
karesine eşit olduğunu ispatlamıştır.
Daha sonra John Napier bir
logaritma cetveli oluşturarak üslü sayıların gösterimini yapmıştır.
BİRAZ DA DİĞER ÖZELLİKLERİNE BAKALIM 👀
Diğer özelliklerimize kendimiz ulaşalım mı?
(-2)3 ve (-2)6 işlemlerini inceleyelim mi?
(-2)3 = (-2).(-2).(-2) = -8
(-2)6 = (-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = 64
Bu işlemlerde ise sayılarımızın üslerine dikkat edersek;
- “Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif çift kuvvetleri pozitiftir.” genellemesini yaparız.
-34 ve (-3)4 birbirlerine eşit midir? Şimdi eşit olup
olmadığını inceleyelim.
-34 = -3.3.3.3 = -81
(-3)4 = (-3).(-3).(-3).(-3) = 81
İşlemlerimizin sonuçlarının eşit olmadığını gördük. Buradan da şu sonuca
varıyoruz;
- Parantez dışındaki çift kuvvetler tabanı daima pozitif yapar.
Aşağıdaki örnek için sorulan sorularımızı cevaplayalım.
24.27=?
a. 24 sayısında
kaç tane 2 çarpılmaktadır?
b. 27 sayısında
kaç tane 2 çarpılmaktadır?
c. 24.27 sayısında kaç tane 2
çarpılmaktadır?
Biraz düşündükten sonra devam edelim.
a. 2.2.2.2 → 4 tane 2
çarpılmaktadır.
b. 2.2.2.2.2.2.2 → 7 tane 2
çarpılmaktadır.
c. (2.2.2.2) . (2.2.2.2.2.2.2) =
2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 → 11 tane 2 çarpılmaktadır.
4 tane 7 tane 4+7=11 tane
Örnekte de gördüğümüz gibi;
- Tabanları
aynı olan üslü ifadeleri çarpmak için, üsleri topluyor ve ortak tabana üs
olarak yazıyoruz.
Şimdi ise tabanları farklı, üsleri aynı sayıların
çarpımını inceleyelim.
53.73=?
a. 53 ifadesinde
kaç tane 5 çarpılmaktadır?
b. 73 ifadesinde
kaç tane 7 çarpılmaktadır?
c. 53.73 ifadesinde kaç tane 5
ve 7 çarpılmaktadır?
Şimdi biraz düşünelim ⏰ a ve b şıkkını
sizler cevaplarsınız beraber c şıkkına bakalım.
c. (5.5.5) . (7.7.7) =
(5.7).(5.7).(5.7) = (5.7)3
3 tane 3 tane
3 tane
Buradan da anlıyoruz ki;
- Üsleri aynı olan üslü ifadeleri çarparken, tabanları çarpıyor ve ortak üssü aynı şekilde yazıyoruz.
Üslü sayılarda, çarpma işleminden sonra bölme işleminin nasıl yapıldığını görelim.
62/32=?
a.
62 ifadesinde kaç tane 6 çarpılmaktadır?
b.
32 ifadesinde kaç tane 3 çarpılmaktadır?
62/32
= 6.6/3.3 = (6/3).(6/3) = (6/3)2 = 22 = 4
- Örnekten de anlaşılıyor ki; üsleri aynı olan üslü ifadeleri bölerken, tabanları bölüyor ve ortak üssü bölüme üs olarak yazıyoruz.
47/43=?
a.
47 ifadesinde kaç tane 4 çarpılmaktadır?
b.
43 ifadesinde kaç tane 4 çarpılmaktadır?
47/43
= (4.4.4.4.4.4.4) / (4.4.4.4) = [4.4.4.4.(4.4.4)] / (4.4.4) = 44
- Görüyoruz ki; tabanları aynı olan üslü ifadeleri bölerken, ortak taban
bölüme taban olarak ve payın üssü paydanın üssünden çıkarılıp, bölüme üs olarak
yazılıyor.
Şimdi ise yukarıdaki arkadaşlarımızın da söylediği “0 hariç bütün sayıların sıfırıncı
kuvveti 1’dir.” Kuralına değinelim.
23/23=?
23/23 =
(2.2.2) / (2.2.2) =1
Bölme
kuralında öğrendiğimiz gibi tabanları aynı olan üslü ifadeleri bölerken,
ortak taban bölüme taban olarak ve payın üssü paydanın üssünden çıkarılıp,
bölüme üs olarak yazılıyor. Yani;
23-3 = 20 = 1 olur.
Çok yorulduk şimdi üslü sayılarla ilgili olan
hikayemizi okuyup dinlenelim.
SATRANCIN HİKAYESİ VE ÜSLÜ SAYILAR
Satrancın kayıtlara göre ilk kez MS. 570 yıllarında Hindistan’da
oynandığını biliyoruz. Daha önce Çin’de de bu oyunun oynandığı rivayet
ediliyor.
Rivayet olunur ki bunu bulan Brahman rahibi Şah’a bir ders vermek
istemiş. ”Sen ne kadar önemli bir insan olursan ol, adamların,
vezirlerin, askerlerin olmadan hiçbir işe yaramazsın” demek istemiş.
Şah bu durumdan memnun görünmüş, ”Peki, oyunu ve dersini beğendim. Dile benden
ne dilersen” demiş. Rahip bu olay üzerine Şah’ın alması gereken dersi hala
almadığını düşünerek ”Bir miktar buğday istiyorum” demiş.
”Sana bulduğum bu oyunun birinci karesi için bir buğday istiyorum. İkinci
karesi için iki buğday istiyorum. Üçüncü karesi için dört buğday istiyorum.
Böylece her karede, bir önceki karede aldığımın iki misli buğday istiyorum.
Sadece bu kadarcık buğday istiyorum” demiş.
Şah, kendisi gibi yüce ve kudretli bir şahtan isteye isteye üç beş tane
buğday isteyen bu rahibin, küstahlığa varan alçakgönüllülüğüne sinirlenmiş ve
ona bir ders vermek istemiş. ”Hesaplayın. Hak ettiğinden bir tane fazla buğday
vermeyin” demiş.
İşte hesap;
Hesaplamaya ilk kareler kolay gitmiş.
1. Kareye bir buğday,
2. Kareye iki buğday,
3. Kareye dört buğday…
Ancak 10. Kareye gelindiğinde 1023 buğday vermeleri gerekiyor. Bu yaklaşık
bir avuç buğdaya karşılık gelir; hesabın hep böyle gideceğini, hep rahibe böyle
üç beş buğday vereceklerini zannediyorlardı.
 |
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 2047 buğday tanesi
|
15. Kare yalnızca 1.5 kilo buğday vereceklerdi.
25. Kareye gelince 1.5
ton olduğunu görmüşler ama fazla heyecanlanmamışlar. Oysa;
31. Kareye gelince, bu
işin şakası olmadığını anlamaya başlamışlar. Çünkü vermeleri gereken buğday 31.
karede 92 tonmuş.
49. Kareye geldikleri
zaman 24 milyon ton buğday vermeleri gerekiyor. Bu ise Türkiye’nin bir yıllık
buğday üretiminden daha fazla.
54. Kareye
geldiklerinde ise 771 milyon ton buğday vermeleri gerekiyor. Bu da dünyamızın
bugünkü ölçülere göre bir buçuk yıllık buğday üretimi.
”Madem başladık
hesaplara devam edelim” deyip bitirmişler.
64. kare de
tamamlandığında bugünkü ölçülerde dünyanın 1500 yıllık buğday üretimini rahibe
vermeleri gerektiği ortaya çıkmış.
Bu hikayenin sonu
bilinmiyor. Rahip bir miktar buğdaya razı olup gitti mi, yoksa Şah’tan iyi bir
azar mı işitti bilmiyoruz. Satrancın günümüzden yaklaşık 1300 yıl önce
bulunduğunu ve eskiden de dünyanın yıllık buğday üretiminin daha az olduğunu
göz önüne alırsak rahibe olan borcumuzu hala ödemediğimiz, hala borçlu
olduğunuz ortaya çıkar. Allah’tan bu borcun faizi yok!
Bu upuzun ifadelerle
anlattığımız sayının matematik dilindeki ifadesiyle anlatımı şöyledir;
1+2+22+23+24+…+263 =
264 – 1 = 18 446 744 073 709 551 615
(on sekiz kentilyon
dört yüz kırk altı katrilyon yedi yüz kırk dört trilyon yetmiş üç milyar yedi
yüz dokuz milyon beş yüz elli bir bin altı yüz on beş)
Dinlendiğimize göre özelliklerimizin hepsini toplu bir şekilde görmeye ne
dersiniz?
Ondalık Gösterim
Bir ondalık gösterimi basamak değerlerinin toplamı
şeklinde yazmaya ondalık ifadeyi çözümleme denir.
ÖRNEK:
126,95 sayısının ondalık gösterimi 10’un tam sayı
kuvvetleri kullanılarak;
126,95
=100+20+6+0,9+0,05
=100+20+6+0,9+0,05
=1.100+2.10+6.1+9.(1/10)+5.(1/100)
=102+2.101+6.100+9.10-1+5.10-2
Şeklinde çözeriz.
Bilgi Kutusu 📦
a.10n şeklinde verilen bir sayıyı 10’un farklı tam
sayı kuvvetleriyle ifade etmek için değişen n değerlerine göre, kat sayı
düzenlenir.
ÖRNEK:
(32,7).107sayısının 105 ve 109
ifadelerini kullanarak yazalım.
(32,7).107= 3270.105
(32,7).107= (0,327).109
ETKİNLİK
Aşağıda verilen gezegenlerin güneşe olan
uzaklıklarının bilimsel gösterimini yazınız.
Bilimsel gösterim
| |
Neptün’ün Güneş’e olan uzaklığı 4495060000 km’dir.
|
..........
|
Mars’ın Güneş’e olan uzaklığı 227400000 km’dir.
|
...........
|
Jüpiter’in Güneş’e olan uzaklığı 778000000 km’dir.
|
..........
|
Merkür’ün Güneş’e olan uzaklığı 57900000 km’dir.
|
..........
|
Uranüs’ün Güneş’e olan uzaklığı 0,0287246.1011 km’dir.
|
..........
|
Satürn’ün Güneş’e olan uzaklığı 0,1433.1010 km’dir.
|
..........
|
Venüs’ün Güneş’ olan uzaklığı 0,00108.1011 km’dir.
|
...........
|
Yorumlar
Yorum Gönder