ÜÇGENLERDE YÜKSEKLİK, KENARORTAY VE AÇIORTAY

ÜÇGENDE YÜKSEKLİK, KENARORTAY VE AÇIORTAY

  

 Bugün geometride kullandığımız birçok terimin   Atatürk tarafından Türkçeleştirildiğini  biliyor muydunuz?                                        

      Atatürk 1937 de bir geometri kitabı yazmıştır. Atatürk’ün yaptığı çalışma ile Türkçeleştirdiği bazı kelimeler vardır bunların arasında üçgen kelimesi de yer almaktadır?

Müselles=üçgen

Sizce Atatürk bu terimi neden Türkçeleştirmiştir?  

     HAYDİ BAŞLAYALIM 

          

Üçgende yükseklik denilince ilk akla gelen dikme olmalıdır kelime anlamından anlaşılacağı gibi dik yani 90 derece olmalıdır.

     Üçgende Kenarortay 

 Kenarortay adından da anlaşılacağı gibi kenar ve ortay kelimeleri var yani kenarı tam ortadan tam iki parçaya böler.

Üçgende Açıortay

Adında anlaşılacağı gibi açı ve ortay kelimeleri yer almaktadır. Açıyı tam ortadan ikiye bölmektedir

SIRA SİZDE 

ÜÇGENİN KENAR UZUNLUKLARI ARASINDAKİ İLİŞKİ

Üçgen oluşturmak için üçer malzeme gerekir.

Örneğin:  3 adet kalem ,3 adet  tel

Siz olsaydınız üçgen oluşturmak için hangi malzemeleri kullanırdınız? 

Uzunlukları  5,7,8,11,13 ve 17 cm olan kalemlerle üçgenler oluşturunuz. Seçtiğiniz her üç kalemle üçgen oluşturabildiniz mi?

·        7,11ve 13 cm ‘lik kalemleri alalım ve üçgen oluşturmaya çalışalım.

Oluşturduğumuz bu üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi bulalım.

7cm lik kalemle üçgen oluşturacak kalemler, 11 ve 13 cm uzunluğundadır.

13+11=24’tür. 24 sayısı 7’den büyüktür.

13-11=2’dir. 2 sayısı 7’den küçüktür.

11cm’lik kalemle üçgen oluşturacak kalemler,7 ve 13 cm uzunluğundadır.

13+7=20’dir. 20 sayısı 11’den büyüktür.

13-7=6’dır.  6 sayısı 11’den küçüktür.

13cm’lik kalemle üçgen oluşturulacak kalemler,7 ve 11 cm uzunluğundadır.

11+7=18’dir. 18 sayısı 13’den büyüktür.

11-7=4’tür. 4 sayısı 13’den küçüktür.

Görüldüğü gibi bu üçgenin iki kenarının uzunlukları toplamı,üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür.iki kenarın uzunlukları farkı ise üçüncü kenarın uzunluğundan küçüktür.

7,11ve13 cm’lik kalemlerle ücgen oluşturulabilmektedir.

·        5,7 ve 17 cm’lik kalemleri alalım. Ve bu kalemlerle ücgen oluşturmaya çalışalım.

  

 Oluşturmaya çalıştığımız üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiye bakalım.

11cm’lik kalemle üçgen oluşturmaya çalıştığımız kalemlerin uzunluğu 5 ve 17cm’dir.

17+5=22’dir. 22 sayısı 11’den büyüktür.

17-5=12’dir. 12 sayısı 11’den büyüktür.

17cm’lik kalemle üçgen oluşturmaya çalıştığımız kalemlerin uzunluğu 5 ve 11 cm’dir.

11+5=16’dır.16 sayısı 17’den küçüktür.

11-5=6’dır. 6 sayısı 5 ‘den küçüktür.

5cm’lik kalemle üçgen oluşturmaya çalıştığımız kalemlerin uzunluğu 11 ve 17 cm’dir.

17+11=28’dir. 28 sayısı 5’den büyüktür.

17-11=6’dir. 6 sayısı  5’den büyüktür.

5cm ,11cm ve 17 cm’lik kalemlerle üçgen oluşturulamaz.

Örnek :

Sıra sizde

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI

Üçgenin kenar uzunlukları ve karşısındaki açıların ölçüleri arasında bir ilişki var mıdır?

ETKİNLİK:

 Şimdi eline bir metre al. İki elinin parmakları yardımı ile metreyi açıp kapatarak ölçümler yap. Kafan üçgenin tepe noktası ve kolların üçgenin kenarları gibi düşün o zaman kollarınla açtığın metrede taban olacaktır. Kollarını açtıkça metrenin boyunun daha da uzadığını buna bağlı olarak kollarının arasındaki açının büyüdüğünü tam tersini yapınca küçüldüğünü gözlemleyeceksin. 

Yani üçgen içerisinde büyük olan iç açının karşısında her zaman üçgenin en büyük kenarı, küçük olan iç açının karşısında ise en küçük kenarın olduğunu öğrendik.

Etkinlikten faydalanarak Sıra Sende kısmını tamamla. Sana güveniyorum.

Dörtgenlerde  (birden fazla üçgen olursa) en büyük ve en küçük kenarı bulmak için nasıl bir yol izleriz?

Yukardaki soruda görüldüğü gibi ortak olan kenar ipucudur. Yani KLMN dörtgeninde, LN dörtgeni 2 üçgene ayırır. İki üçgende de eş olan LN kenarıdır. KLN üçgeni ve MNL üçgeninde ayrı ayrı açı-kenar bağıntısı yapılır ve ikisinde de ortak olan LN kenarından yola çıkarak soruda istenen en büyük kenar veya en küçük kenar bulunur. 

ÖZETLE;

ÜÇGEN ÇİZİMLERİ

Günlük hayatta üçgen şeklini nerelerde görmekteyiz? 

·         Üçgen çizebilmek için üçgenin hangi elemanlarına ihtiyaç vardır❓

A)     Yardımcı elemanları

B)     Temel elemanları

                                                                        Doğru cevap: B seçeneği

·       

       

        Üçgenin temel elemanları nelerdir ?

Üçgenin temel elemanları, kenarları ve açılarıdır. Belirli bir üçgenin çizilebilmesi için bu temel elemanlardan en az üç tanesinin bilinmesi ve bu bilgilerden en az birinin kenar uzunluğu olması şarttır.

1. Üç kenar uzunluğu,
2. İki kenar uzunluğu ile bu kenar arasındaki açının ölçüsü,
3. Bir kenarının uzunluğu ile iki açısının ölçüsü

verilen bir üçgen cetvel, açıölçer ve pergel kullanılarak çizilebilir.

Bir üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene müselles ve üçbucak da denir.

Yukardaki tanımda da görüldüğü gibi üçgeni çizebilmek için 3 tane noktaya ihtiyacımız var.

İlk olarak 3 kenarı da verilmiş üçgenin çizimini inceleyelim.

1. Cetvel yardımıyla herhangi bir kenar çizilir.
2. Pergel, geriye kalan kenarlardan biri kadar açılır ve cetvel yardımıyla çizilen doğru parçasının bir ucuna konulur ve bir yay çizilir.
3. Bu sefer pergel son kalan kenarın uzunluğu kadar açılır ve ilk aşamada çizilen doğru parçasının diğer ucuna koyup ikinci aşamada çizdiğimiz yayla kesişecek bir yay çizilir.
4. Bu yayların kesişim noktası, ilk aşamada çizilen doğru parçasının uçları ile birleştirilerek üçgen oluşturulur.

Şimdi de 2 kenarı bir açısı verilen üçgenin çizimini inceleyelim. 

1. Cetvel yardımıyla verilen herhangi bir kenar çizilir.
2. Çizilen kenarın ucuna verilen açı açıölçer yardımıyla oluşturulur.
3. Verilen diğer kenar, ilk aşamada çizdiğimiz kenarın ucuna 2. aşamada oluşturduğumuz açıyı yapacak şekilde çizilir.
4. Çizilen kenarların uçları birleştirerek üçgen oluşturulur.

Şimdi de bir kenarı iki açısı verilmiş üçgenin çizimine geçelim.

1. Cetvel yardımıyla verilen herhangi bir kenar çizilir.
2. Açıölçer yardımıyla ilk aşamadaki doğru parçasının bir ucuna, o köşe için verilen açıyı oluşturacak şekilde bir doğru parçası çizilir.
3. Açıölçer yardımıyla ilk aşamadaki doğru parçasının diğer ucuna, o köşe için verilen açıyı oluşturacak şekilde bir diğer doğru parçası çizilir.
4. Çizdiğimiz bu kollar kesiştirilerek üçgen oluşturulur.

DİKKAT:

Peki 3 açısı verilen bir üçgen çizilebilir mi? 

 3 açısı verilen tek bir üçgen çizilmez. Aynı açı değerinde kenar uzunlukları farklı birçok üçgen çizilebilir. Bu yüzden üçgen çizimlerinde en az bir tane kenar mutlaka olur. Dikkat et!

SIRA SENDE:

DÜŞÜN:

Üçgen şekli günlük hayatta en çok çatılarda karşılar bizi. Peki bir usta üçgen şeklinde çatıyı yapmak için hangi üçgen çizimini kullanır?

PİSAGOR BAĞINTISI

Antik çağda “Sayılar, evreni yönetiyor.” diyen Pisagor önemli matematikçilerden biridir.

Matematik dünyasındaki buluşlarıyla

tarihte önemli bir yer edinmiştir.

En çok tanınan buluşu, Pisagor teoremidir.

Bu teorem yardımıyla iki kenar uzunluğu bilinen

bir dik üçgenin üçüncü kenar uzunluğu hesaplanabilir.Sizce Pisagor üçüncü kenar uzunluğunu nasıl hesaplamış olabilir?

Öncelikle konumuza bir etkinlikle başlayalım J

-ETKİNLİK-

AMAÇ:  Pisagor bağıntısı oluşturmak

ARAÇ GEREÇ:  Tel (96 cm) , birim kareler (kenar uzunluğu 2 cm) cetvel

 UYGULAMA BASAMAKLARI
1. Bir kenar uzunluğu 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan üç tane kareyi tel yardımıyla oluşturunuz.
2. Kareleri bir dik üçgen oluşacak şekilde

 yandaki gibi birleştiriniz.                                     

3. Kenar uzunluğu 6 cm ve 8 cm olan

 karelerin içini birim kareleri kullanarak

doldurunuz.

 4. Bu işlem için kullandığınız birim karelerin tamamını alıp

kenar uzunluğu 10 cm olan karesel bölgenin içine doldurmaya çalışınız.

SONUÇLANDIRALIM

 Kenar uzunluğu 10 cm olan karesel bölgenin içine tüm birim kareleri yerleştirebildiniz mi?

Hangi durumlarda iki karesel bölgenin içerisindeki birim karelerin toplamı diğer  karesel bölgedeki birim karelerin toplamına eşit olur?   Tartışınız.

ÖRNEK-1

    Yandaki dik üçgenin kenarlarının                  

üzerine karesel bölgeler çizelim.

 Çizdiğimiz karesel bölgelerin alanları

 arasındaki ilişkiyi inceleyelim.

 ÇÖZÜM-1

KLM üçgeninin kenarlarının üzerine             

 kenar uzunlukları 8 br, 15 br ve 17 br

olan üç karesel bölge çizelim.

Kenar uzunluğu IKMI = 15 br olan yeşil karenin

 alanı: 152 = 225 br2

Kenar uzunluğu ILMI = 8 br olan kahverengi karenin alanı: 82 = 64 br2

 Kenar uzunluğu IKLI = 17 br olan sarı karenin alanı:172 = 289 br2

Dik kenarlar üzerine çizilen yeşil ve kahverengi karelerin alanları toplamı, sarı karenin alanına eşittir. 225 br2 + 64 br2 = 289 br2 olur

J BİLGİ KUTUSU J

Dik üçgende 90˚ nin karşısındaki kenara                     

 hipotenüs denir.

Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının

 kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun

karesine eşittir. Bu eşitliğe Pisagor bağıntısı denir.

                        

Şimdi sıra sizdee J

Yanda verilen ABC üçgeninin                                  

 hipotenüs uzunluğunu, kenarların üzerine karesel bölgeler çizerek bulunuz.

 ÖRNEK-2

Yanda, Pelin ve Rana’nın

 konumlarına ait kroki verilmiştir.

Pelin ve Rana’nın arasındaki

en kısa mesafeyi hesaplayalım.

ÇÖZÜM-2

Yukarıda verilen krokiye ait taslak bir şekil çizelim.

 Pelin ile Rana arasındaki en kısa mesafe [PR] dır.

 Bu yolun uzunluğunu bulmak için

Pisagor bağıntısından faydalanalım.

 

[PR] nı Hipotenüs kabul eden bir dik üçgen

oluşturalım. Oluşan üçgende pisagor bağıntısı

uygulayarak |PR| nu bulalım.

|PR|2 = |PK|2 + |RK|2

|PR|2 = 962 + 282

|PR|2 = 9216 + 784

PR 2 = 10000

 |PR| = 100 m

Şimdi ise sizlerle birlikte aşama aşama problem çözeliiimm J

  

 Yanda çeşitli uzunlukları verilen

 platformdaki kaydırağın uzunluğunu

bulalım.

Öncelikle bu  problemi problem çözme basamaklarından yararlanarak çözelim.

İlk olarak ;

PROBLEMİ ANLAyALIM

Problemde verilenleri ve istenenleri yazalım.

Verilenler:                                    - Merdiven uzunluğ: 10 m -Merdivenin uzaklığı: 6 m  Kaydırağın uzaklığı: 15 m İstenen:  - Kaydırağın uzunluğu  PLAN YAPALIM Pisagor bağıntısını kullanarak ilk önce platformun yüksekliğini daha sonra kaydırağın uzunluğunu bulalım. PLANI UYGULAYLIM Kaydırağın uzunluğunu bulmak için yandaki gibi  bir düzlemsel şekil çizelim. Platformun yüksekliği:  |AB|2 = |BC|2 +|AC|2                      102 = 62 + |AC|2 100 = 36 + |AC|2 64 = |AC|2 64 = |AC| 2 8 m = |AC| Platformun yüksekliği h = 8 m olur. KONTROL EDELİM Merdivenin yüksekliği ile kaydırağın yüksekliğini bulup karşılaştıralım. Merdiven ve kaydırağın yükseklikleri eşit olduğu için çözümümüz doğrudur. BİLİYOR MUYDUNUZ ?    YENİ NESİL SORULAR   Dik üçgenlerde 90° lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun  karesine eşittir 1)Şekil 1’de verilen kare biçimindeki karton parçasından Şekil 2’deki gibi boyalı dört tane eş dik üçgen kesilip çıkarılıyor.            Bu üçgenler aşağıdaki gibi birleştirildiğinde alanı 16 cm2 olan bir kare oluşturuluyor. Buna göre başlangıçta verilen karton parçasının bir kenarının uzunluğu kaç santimetredir?      2) İki terimin toplamının karesi, bu iki terimin kareleri ve bu iki terimin çarpımının iki katının toplamına eşittir.  Ali teknoloji tasarım dersinde, elindeki kartondan alanı 48 cm2 ve çevresi 28 cm olan dikdörtgen şeklinde bir televizyon yapıyor. Bu televizyonu, aşağıdaki görseldeki gibi dışına taşmayacak şekilde üzerine yerleştirebileceği daire şeklinde bir televizyon ünitesi yapmak istiyor.  Buna göre yapmak istediği televizyon ünitesinin çapının uzunluğu en az kaç santimetredir? A)    9                              B) 10                         C) 11                                            D) 12      3)Eş üçgenlerin karşılıklı açılarının ölçüleri ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Aşağıdaki görselde yelkenleri eş üçgenler şeklinde olan bir gemi modeli verilmiştir. Bu modelde tabana dik olarak yerleştirilen yelken direğinin boyu, geminin boyundan % 20 fazladır. Yelkenler tabandan itibaren 2’şer metre ara ile direğe bağlandığına göre geminin boyu kaç metredir? A)    8                             B) 10                              C) 12                                         D) 15 Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Nedir Günlük hayattan bildiğimiz benzerlik tanımına göre iki şekil birbirinin belli bir oranda büyültülmüş küçültülmüş hali ise bu iki şekil birbirine benzerdir. Matruşkalar buna en güzel örneklerdendir. Hatırlamak gerekirse ders kitabımızdaki örnekler ise aşağıdaki gibiydi: HATIRLATMA: Etkinlik Vakti: Boy Uzunluğunu Bilmediğimiz Yüksek Bir Cismin Boyunu Bulabilir miyiz? Thales, Mısır sokaklarında gezerken, güneşi seyrediyordu. Kendi ardı sıra hareket eden gölgesinin, günün farklı saatlerinde uzayıp kısaldığına bakıyor, kendi boyu ile gölgesinin aynı boyda olduğu anda heyecanlanıyor, güneşin ellerinde oyun oynayan gölgeler yoluyla Mısır piramitlerinin boyunu ölçmeyi başarıyordu. Sizce Thales piramitlerin boyunu ölçme işlemini nasıl yapıyordu? Thales, bir insanın gölgesi kendi boyuna eşit olduğu zaman, piramidin yüksekliği de kendisinin gölge boyuna eşit olduğunu gözlemleyerek, piramidin yüksekliğini hesaplamayı başarmıştır.” Burada Thales şunu dikkate alarak genelleme yapmıştır; bir nesnenin gölgesi kendi boyuna eşitse, bütün nesnelerin boyu da kendi gölgesinin boyuna eşittir. Bu “gölge eşitliği” olgusu, bir nesnenin yere düşen gölgesini ölçerek, o nesnenin boyu hakkında bilgiye sahip olmaya izin verir. Gerçekten Thales piramidin uzunluğunu kusursuzca ölçtü mü? Tabii ki bundan emin olmak imkansızdır, ama uzun bir nesnenin yüksekliğini bulmak için sadece gölgeden faydalanmak çok mükemmel ve çarpıcıdır ve diğer uygulamaları gölgede bırakmıştır. Bu anekdot bu zamana kadar süregelmiştir çünkü gerçekten çok hoştur; mükemmel bir fikir içermekte ve insanı kendine hayran bırakmaktadır. Günümüzdeki bilgiler ışığında ise boy uzunluğunu bilmediğimiz bir cismin boyunu ölçmek için gölgesinin boyunun kendi boyuna eşit olmasını beklememize gerek yoktur. Şöyle ki: Bir ağacın boyunu ölçmek istiyorsak; ağaç yere dik olduğundan biz de yere dik olan bir cismi koyduğumuzda açı benzerliği oluşacaktır. Benzerlikten yola çıkarak oran kurduğumuzda sonuca ulaşabiliriz. Kurduğumuz bu oran benzerlik oranı olacaktır. Örnek: Resimde verilen kişinin boyu 170 cm olduğuna göre ağacın boyu kaç cm’dir? Çözüm: 2m de 170 cm ise 6m de 510 cm olur. Bu durumda ağacın boyunun 510 cm olduğunu görürüz. Sıra sizde: Aşağıdaki vazonun uzunluğu 20 cm ve ışık kaynağına uzaklığı 40 cm olduğuna göre ışık kaynağına uzunluğu 120 cm olan gölgenin uzunluğunu bulalım. Çözüm: olduğundan gölge uzunluğu olan x= 60cm dir.