MEHMET AKİF ERSOY ÜNİVERSİTESİ

Mayıs 10, 2020

DOĞRUSAL DENKLEMLER

Gerek cebirsel ifadeleri barındırması gerekse de tablo, grafik, şema gibi görsel öğeleri barındırmasıyla 8.sınıf konusu olan doğrusal denklemler, öğrenciler tarafından daha zor anlaşılma ihtimali olan bir konudur.

Konunun ve kazanımların kalıcı olmasını sağlamak için öncelikle bir önceki konu olan eşitlik ve denklem konusunda denklem kavramını iyice anlamış olmalarında emin olmak gerekmektedir.

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

Bir değişken ve rasyonel cebirsel ifadeler içeren eşitliklere birbilinmeyenli rasyonel denklem denir.

Denklemdeki değişkenin değerini bulma işlemine denklem çözme denir.

Bulunan sayıyı denklemin çözümü, denklemin kökü veya denklemi sağlayan değer şeklinde tanımlayabiliriz.

SORU:

KOORDİNAT SİSTEMİ

Yanda oturma planı verilen sinemadan bilet alan Arif sinemadaki yerini bulmak için biletine baktığında sadece koltuk numarasının 4 olduğunu görüyor.

Arif’in hangi koltuğa oturması gerektiği bulunabilir mi?

Arif’in oturacağı koltuğun bulunması için başka hangi bilgiye ihtiyaç vardır?

Günlük hayatımızda yukarıdaki duruma benzer şekilde yerini belirlediğimiz başka örnekler verebilir misiniz?

SORU:

A(3, -2) noktasını koordinat sisteminde gösterelim. Koordinat sisteminde x ekseninde 3, y ekseninde -2 noktasından

eksenlere dikmeler çizelim. Bu iki dikmenin kesişim noktası A noktasını verir.

İki sayı doğrusunun sıfır noktasında dik kesişmesi ile oluşan sisteme koordinat sistemi denir.

Koordinat sisteminin yatay çizilen eksenine “x ekseni", dikey çizilen eksenine “y ekseni" denir.

Yatay ve dikey eksenlerin kesişim noktasına "başlangıç noktası" veya “orijin" denir.

Koordinat sistemi bir düzlem üzerinde bulunan noktaların tam olarak bulunması için kullanılır.

Bir noktanın yerinin belirlenebilmesi için iki farklı referansa ihtiyaç vardır. Koordinat sisteminde herhangi bir noktanın yerinin bulunması için sayı ikilisi kullanılır. Bu sayı ikilisine sıralı ikililer denir.

Bir sıralı ikili birincisi x eksenindeki, ikincisi y eksenindeki koordinatını gösteren iki sayıdan oluşur. Sıralı ikililerde sıra önemlidir.

BULALIM:

SORU:

DOĞRUSAL İLİŞKİLER

SORU:

DOĞRUSAL DENKLEMLERİN GRAFİĞİ

SORU:

DOĞRUSAL İLİŞKİ İÇEREN GERÇEK HAYAT DURUMLARI

BİRLİKTE YAPALIM:

DOĞRUSAL DENKLEMDEN EĞİM BULMA

SORU:

KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİNİN TARİHÇESİ

RENÉ DESCARTES

Doğum: 31 Mart 1596, La Haye (şimdi Descartes), Touraine, Fransa

Ölüm: 11 Şubat 1650, Stockholm, İsveç

Descartes, bir Fransız matematikçisi, bilim adamı ve filozofudur. Modern felsefenin babası olarak bilinir. Fransa'nın Touraine bölgesinin La Haye isimli şehrinde doğmuştur.

Hayatını daha detaylı olarak incelemek isterseniz aşağıdaki linke tıklayabilirsiniz.

https://www.youtube.com/watch?v=d68SfZ7vNCU

Descartes bilimin ve özellikle matematiğin tümevarım metodunu felsefeye uygulamaya çalışmıştır. Meşhur "Cogito, ergo sum", " I think, therefore I am" "düşünüyorum öyleyse varım" sözü ona aittir. Bu noktadan başlayarak her şeyi sorgulamıştır kendi varlığını - Yaratıcının varlığını da ve O'na inanma ihtiyacını ifade etmiştir.

Descartes bilime ve matematiğe önemli katkılarda bulunmuştur. Optikte yansımanın temel kanununu bulmuştur; geliş açısı gidiş açısına eşittir. Matematiğe olan en büyük katkısı ise analitik geometri üzerine olmuştur. Cebir'in geometriye uygulanması üzerine çalışmıştır. Cartesian geometri ifadesini ortaya atmıştır. Eğrileri onları üreten denklemlere göre sınıflandırmıştır. Alfabenin son harflerini bilinmeyen çokluklar için, ilk harflerini de bilinen çokluklar için kullanmıştır.

Koordinat sisteminin tarihine bakacak olursak bu sistemin fikrinin hem Descartes tarafından hem de Pierre de Fermat tarafından birbirinden bağımsız olarak geliştirildiğini görürüz. Descartes 1637 yılında çalışmalarını yayınladı. Fermat da 3 boyutlu olarak çalıştı ancak çalışmalarını yayınlamadı. Bu yüzden Kartezyen Koordinat Sistemi Descartes tarafından bulundu kabul edilir ve adı da ondan gelmektedir.

ETKİNLİK(KOORDİNAT SİSTEMİ)

SAKLAMBAÇ

Ali, Ayşe, Suzan, Göktan ve Yeliz saklambaç oynamaya karar verirler. Kura çekerler , Ali ebe olur ve gözlerini yumarak saymaya başlar. Diğerleri de saklanmak için yer bulma telaşına düşerler. Size verdiğimiz ipuçlarını değerlendirerek Ali’ye, saklanan arkadaşlarını bulması için yardımcı olur musunuz?

Koordinat sistemine tam sayıları yerleştirin ve ipuçları yardımıyla her bir bireyin bulunduğu koordinatları yazınız.

Ali( , )

Ayşe( , )

Suzan( , )

İPUÇLARI:

Suzan ve Göktan ; Ali gözlerini yumup saymaya başlar başlamaz Ali’nin bulunduğu noktadan doğuya doğru koşmaya başlamışlar. Suzan Göktan:’dan daha hızlı koştuğundan başka hiçbir yöne sapmadan Ali’den 5 birim uzaklıktaki bir ağaç arkasına saklanmış.

Göktan, Suzan’ın saklandığını gördüğünde Suzan’ın iki birim gerisindeymiş. Orada saklanacak bir yer bulamayınca kuzeye yönelerek koşmaya başlamış. 4 birim koştuktan sonra o da kendine saklanacak bir yer bulmayı başarmış.

Yeliz'in saklandığı yer , Göktan’ın saklanma yerinin Ali’nin bulunduğu noktaya göre simetriğidir.

Ayşe ise Göktan’ın ilk gittiği uzaklık kadar batıya yönelmiş. Ama saklanacak yer bulamayınca kuzeye doğru , Suzan’ın doğu yönünde koştuğu uzaklık kadar gitmiş. Karşısında güzel bir saklanma yeri görünce sayma süresinin bitimine çok az kala son anda ebelenmekten kurtulmuş.

EŞİTSİZLİKLER

NEDEN ÖĞRENMELİYİZ?

Hız limitinin 80 olması gerektiğini belirten levhayı gördüğümüzde bunun tam olarak 80 kilometre/saat hızla gitmemiz gerektiği anlamına gelmediğini biliriz.

Hızımız 50 kilometre/saat de olabilir 70 kilometre/saatte. Önemli olan hızımızın saatte 80 kilometre/saat ya da daha az olmasıdır.

İşte günlük hayatta buna benzer durumları ifade etmek için eşitlikler yerine eşitsizlikler kullanılır

EŞİTSİZLİK TANIMI

İki büyüklük arasında karşılaştırma yapılırken dengede olma durumunun eşitlik ile ifade edildiğini biliyoruz. Eşitsizlik ise dengede olmama durumudur.

Eşitsizlikler bir niceliğin alabileceği farklı değerleri tanımlamak ya da iki niceliği büyüklük küçüklük yönünden karşılaştırmak için kullanılan matematiksel ifadelerdir. Bu karşılaştırmaları yapmak için bazı semboller kullanılır.

İçinde birinci dereceden bir bilinmeyenli ifade bulunan eşitsizliklere de birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.

SEMBOLLER

<(Küçüktür)

>(Büyüktür)

≤(Küçük veya eşittir)

≥(Büyük veya eşittir)

BİRLİKTE YAPALIM:

Aşağıda verilen ifadelere karşılık gelen matematik cümlelerini yazalım.

“Çocuk futbol takımına katılabilmek için 9 yaşından küçük olunmalıdır.”

Çocukların yaşı Y ile temsil edildiğinde Y < 9 olarak ifade edilir.

“Beşten büyük sayılar”

Sayılar X ile temsil edildiğinde X > 5 olarak ifade edilir.

“Şehir içi hız limiti 50 kilometre/saattir.”

Hız H ile temsil edildiğinde H ≤ 50 olarak ifade edilir

“Ali her gün en az 20, en fazla 50 sayfa kitap okur”

Okuduğu sayfa sayısı S ile temsil edildiğinde 20 ≤ S ≤ 50 olarak ifade edilir.

SORU:

Öğle yemeğini dışarıda yemeğe karar veren bir arkadaş grubu toplam 14 adet yiyecek ve 12 adet içecek tüketmiştir. Ödenebilecek hesabı gösteren eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

A) 68 ≤ x ≤ 176 B)68 < x < 176

C)50 < x < 130 D)50 ≤ x ≤ 130

ÇÖZÜM:

En ucuz yiyecekten ve içecekten tüketilmesi durumunda:

4 x 14 = 56 TL yiyeceklerin tutarı

1 x 12 = 12 TL içeceklerin tutarı

56 + 12 = 68 TL en az ödenebilecek hesap tutarı

En pahalı yiyecekten ve içecekten tüketilmesi durumunda :

10 x 14 = 140 TL yiyeceklerin tutarı

3 x 12 = 36 TL içeceklerin tutarı

140 +36 = 176 TL en fazla ödenebilecek hesap tutarı

Ödenebilecek hesap bu iki sınır değeri arasında her almalıdır.

Buna uygun eşitsizlik:

68 ≤ x ≤ 176 olarak bulunur.

SIRA SİZDE:

Yukarıdaki kutu sütlerden 4 adet alan bir müşterinin kaç mL süt alabileceğini gösteren eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

A)3980 ≤ X ≤ 4000 B)3980 ≤ X ≤ 4020

C)3980 < X < 4000 D)3980 < X < 4000

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİ SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME

Şimdi de eşitsizlikleri sayı doğrusu üzerinde gösterme ile ilgili birazcık pratik yapalım.

https://www.thatquiz.org/tr-o/?-j418-l4-mpnv600-nk-p2to linkine girerek sizler için yapmış olduğumuz alıştırmayı açalım.

Verilen eşitsizliklere uygun olan okları sayı doğrusu üzerine getirerek yerleştirelim.

BİRLİKTE İNCELEYELİM:

Bir bitki bilimci biri çok yüksek diğeri ise çok düşük sıcaklıklarda yaşayabilen iki tip bitki üzerinde çalışıyor.Yapacakları çalışmada bitkilerin farklı zaman dilimlerinde sıcaklık değişimlerine nasıl tepki verdiklerini gözlemlemek istiyorlar. Bitkilerden ilki en fazla 70 derece sıcaklıkta yaşayabiliyor. Diğer bitki ise en az -18 derece sıcaklıkta yaşayabiliyor.Her iki bitki için deneyler yapacak olan bitki bilimci her deneyi farklı zaman aralıklarında gözlemlemek istiyor. Bunun için hangi zaman aralıklarının bu deney için uygun olduğunu belirlemesi gerekiyor.

İlk deneyde başlangıç sıcaklığı 20 derece olacak ve her 1 dakikada sıcaklık 5 derece arttırılacak.Bu deney için zamanı x ile gösterirsek, x dakika sonraki sıcaklığı da 5x+20 şeklinde gösterebiliriz.

Bu bitki 70 derece üzerinde hayatta kalamadığı için üst sınır 70 olarak belirlenmelidir.Böylece 5x +20 ≤ 70 şeklinde bir eşitsizlik elde etmiş olduk.

Bu şekilde yazılabilen eşitsizlikler 1. Dereceden 1 bilinmeyenli eşitsizlikler olarak adlandırılır.

Peki, bu eşitsizliği nasıl çözebiliriz?

Tıpkı denklem çözerken yaptığımız gibi değişkeni yalnız bırakacak şekilde değişkene uygulanan işlemleri ters sırada yaparak eşitsizliğin çözümüne ulaşabiliriz.

Bunun için eşitsizliğin her iki tarafında 20 çıkartalım ve ardından her iki tarafı 5 e bölelim.

Eşitsizliğin çözümüne bakarak deney sürelerinin 10 dakika veya daha az olması gerektiğini söyleyebiliriz.

İkinci deneyde ise başlangıç sıcaklığı 50 derece olacak ve her 1 dakikada sıcaklık 5 derece azaltılacaktır.

Bu deney için de x dakika sonraki sıcaklık -5x+50 şeklinde gösterilir.Bu organizma -18 derece altında hayatta kalamadığı için sınır değeri -18 olarak belirlenmelidir. Burada da 5x+50 ≥-18 şeklinde bir eşitsizlik elde etmiş olduk.

Şimdi de bu eşitsizliği çözelim.

İlk olarak her iki taraftan 50 çıkartalım ve ardından her iki tarafı -5 e bölelim.

Burada dikkatli olmamız gerekiyor. Eşitsizlik çözerken eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarptığımızda ya da böldüğümüzde eşitsizliğin yönünü değiştirmemiz gerekir.

Şimdi de cebirsel ifade içeren eşitsizliklerdeki işaretin değişimini sayı doğrusu kullanarak anlamaya çalışalım.

Örnek olarak x küçüktür y eşitsizliğine bakalım.

Eşitsizliğin her iki tarafını -1 ile çarpalım. Cebirsel ifadelerin -1 ile çarpıldıktan sonra yeni yerleri sıfıra göre yansımalarıdır. Gördüğümüz gibi –y –x den daha küçük bir değerdir.