DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ

Mayıs 28, 2020

DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ

Dönüşüm Geometrisi

Neler Öğreneceğiz:

• Öteleme kavramı ve uygulamaları

• Yansıma kavramı ve uygulamaları

KAZANIMLAR

M.8.3.2.1. Nokta, doğru parçası ve diğer şekillerin öteleme sonucundaki görüntülerini çizer.

a) Kareli veya noktalı kâğıt, koordinat sistemi üzerinde çalışmalar yapılır.

b) Dinamik geometri yazılımları ile yapılacak çalışmalara da yer verilebilir.

c) Ötelemede şekil üzerindeki her bir noktanın aynı yönde hareket ettiği ve şekil ile görüntüsünün eşolduğu fark ettirilir.
M.8.3.2.2. Nokta, doğru parçası ve diğer şekillerin yansıma sonucu oluşan görüntüsünü oluşturur.

a) Kareli veya noktalı kâğıt, koordinat sistemi üzerinde çalışmalar yapılır.

b) Dinamik geometri yazılımları ile yapılacak çalışmalara da yer verilebilir.

c) Yansımada şekil ile görüntüsü üzerinde birbirlerine karşılık gelen noktaların simetri doğrusuna dik ve aralarındaki uzaklıkların eşit olduğu bu nedenle şekil ile görüntüsünün eş olduğu fark ettirilir.

ç) Simetri doğrularının üzerinde olan şekillerle de çalışmalar yapılır.

M.8.3.2.3. Çokgenlerin öteleme ve yansımalar sonucunda ortaya çıkan görüntüsünü oluşturur.

a) En çok iki ardışık öteleme veya yansımaya yer verilir.

b) Desen, motif ve benzeri görsellerde öteleme veya yansıma dönüşümlerini belirlemeye yönelikçalışmalara yer verilir.

c) Geleneksel sanatlarımızdan (çini, seramik, dokuma vb.) örnekler de dikkate alınır.

Temel Kavramlar
Yansıma, öteleme, görüntü, simetri doğrusu

Öteleme hareketi, bir şeklin sağa, sola, yukarı veya aşağı ilerletilmesidir.

Hayatımızdaki nesnelerin veya canlıların görüntülerinde değişim olmadan konularının (yerlerinin) değiştiği bazı durumlar vardır. Örneğin satranç tahtasındaki taşların hareketi, bir arabanın bulunduğu yerden ileri ve geri gitmesi gibi durumlar matematikte karşımıza öteleme olarak çıkar. Öteleme konusunda bilim insanları çığır açacak çalışmalar yapmaktadır. Bunun en güzel örneği ışınlanmadır. Işınlanma, bir noktada yok olup başka bir noktada yeniden var olmaktır. Öteleme, nesnelerin veya canlıların görüntülerinin değişmediği fakat konumlarının değiştiği durumlardır.

Pekiyi, öteleme sonucu ötelediğimiz cismin, noktanın, doğru parçasının şeklinde bir değişme olmadığını hep birlikte görelim. Hadi öğrenelim!

HADİ BİRAZ UYGULAMA!

Şekildeki gibi bir mukavva ele alalım ve üzerine bir adet zar yerleştirelim. Öğrencilerimizden bu zarı yukarı, aşağı, sağa, sola itelemelerini isteyelim.

Ötelenen zarın şeklinde değişiklik olmadığını gördüğümüze göre artık biraz eğlenebiliriz!

OYUN ZAMANI

Yukarıdaki mukavva bize bir şeyler hatırlatıyor olmalı değil mi? Evet! Öteleme hareketiyle oynayacağımız birçok oyun var. Her adımda bir oyun oynamak üzere bunların birkaçından bahsedelim ve oynayalım:

SATRANÇ

Satrancın, zamanımızdan en az 4000 yıl önce Mısır’da oynandığına dair bulgular piramitlerdeki kabartmalarda bulunmaktadır. Yine Çin’de, Mezopotamya’da ve Anadolu’da oynanmaktaydı. Oyunun bugünkü adını alması, MS 3. – 4. yüzyıllarda Hindistan’da, oyuna ÇATURANGA denmesi ile başlar. Satranç ile ilgili ilk yazılı belgeler Hindistan’dan kalmadır. Daha sonra satranç İran’a, onlardan Araplara, Endülüslüler sayesinde de İspanya üzerinden Avrupa’ya yayılmıştır. Arap ve Avrupa el yazması kitaplardan sonra, İspanyol Lucena’nın ilk basılı satranç kitabında (1497) satrancın o zamanki yeni kuralları açıklandı.

Satrancın bize başka bir oyunu daha anımsattığını düşünebilirsiniz. Haklısınız! Dama da bir öteleme oyunudur. Bir adım sonra damayı inceleyeceğiz!

ETKİNLİK

Yukarıdaki koordinat sisteminde, A noktasının koordinatlarını yazalım.
Şimdi ise A noktasını 3 birim sağa öteleyelim.
A noktasının yeni koordinatlarını yazalım.
Fark ettiniz değil mi? A noktasının koordinatlarında değişmeyen bir şey var. Evet! A noktasının y-koordinatı değişmedi. Çünkü sağa veya sola giderken yaptığımız öteleme x-ekseni üzerinde yapılıyor!
Şimdi tekrar A noktasını ilk duruma getirelim.
Daha sonra A noktasını 4 birim yukarı öteleyelim.
A noktasının yeni koordinatlarını yazalım.
Evet! Burada da değişmeyen bir şeyler var: x-koordinatı! Yukarı veya aşağı öteleme hareketi y-ekseni üzerinde olduğundan x-koordinatımız değişmedi!

DAMA

Dama, iki kişinin karşı karşıya oynadığı bir masa oyunudur. Genellikle 8×8, 10×10 ya da 12×12'lik dama tahtaları üzerinde oynanır. Satrancın aksine bütün taşlar aynı biçimde hareket eder. Damanın bildiğimiz 2 çeşidi vardır: Türk daması ve Çin daması!

Çin damasının oynanışı

Taşlar, ancak üzerlerinde bulundukları koyu karelerde, yani çapraz olarak ve her hamlede birer kare gidecek şekilde hareket ederler. Yol üzerinde kendi renklerinden bir taş varsa bu yol, o taş çekilene kadar kapalıdır. Karşı tarafın bir taşı bulunursa ve arkasındaki kare de boşsa bu taşın üzerinden atlayıp karşı tarafın taşını tahtadan uzaklaştırabilir. Eğer taşlardan biri tahtanın karşı tarafına ulaşırsa üzerine bir tane taş daha konarak bir dama elde edilir. Dama, normal taşların aksine çaprazlar üzerinde her hamlede birden fazla kare kat ederek hareket edebilir, normal taş gibi tahtadan uzaklaştırılabilir. İki taraftan kimin bütün taşları tahtadan önce uzaklaştırılırsa oyunu kaybetmiş olur.

Türk damasının oynanışı

Oyuna beyazlar başlar, saate siyahlar basar. Taşlar 1 kare ileri, sağa ve sola doğru hareket edebilir. 1. ve 8. yataya ulaşan taşlar üzerine bir taş daha koyarak dama niteliği kazanır. Dama taşı istenilen yönde istenilen kadar kare ilerler (çapraz hariç).

ETKİNLİK

Öncelikle bildiğimiz gibi M ve N noktalarını bize denildiği gibi 10 birim sola öteleyelim. Daha sonra aynı şekli elde etmek için M ve N noktalarını yeni yerlerinde uçtan uca birleştirelim. Neden aynı şekli elde etmek istiyoruz? Çünkü ötelemede şekil değişmez!

Son bir oyun daha tanıyalım: Dokuztaş!

Dokuztaş oyunu 2 kişi ile oynanır. Her oyuncunun dokuzar taşı bulunur. Oyun, çoğunlukla toprak üzerine çubukla veya beton üzerine tebeşirle iç içe üç kare çizilerek oynanır. Oyuna başlarken iki oyuncu sırayla taşları noktalara yerleştirir. Bunun sonrasında taşlar ötelenerek rakibin taşı alınır. Oyunculardan birinin iki taşı kalana kadar oyun devam eder.

Şimdi de öteleme kavramını geometri yazılımlarımızdan olan GeoGebra ile pekiştirelim;

Yansımada nesnelerin veya canlıların görüntüleri ve birbirine olan uzaklıkları eşittir. Örneğin aynada görüntümüzün oluşması, arabamızın dikiz aynasında ambulans yazısı ters olduğu halde doğru olarak okuyabilmemiz ve deniz ya da göllerde kendi yansımamızı su üzerinde görmemiz gibi durumlar yansımadır. Bunların yanı sıra dekorasyon,dokumacılık, mimari, seramik ve çini gibi alanlarda da yansımadan faydalanılmaktadır.

Birlikte yapalım

Yansımada şekil ile görüntüsü üzerindeki birbirlerine karşılık gelen noktalar simetri doğrusuna diktir ve aralarındaki uzaklık birbirine eşittir. Bu nedenle şekil ile görüntüsü birbirine eştir.

Bir şeklin yansıma altındaki görüntüsünü bulmak için simetri doğrusuna (simetri ekseni) göre simetrisini bulmak yeterlidir.

ETKİNLİK: SIRA SİZDE!
Gerekli malzemeler: Kareli kağıt, simetri aynası, kalem
Nasıl yapılır: Kareli kağıda herhangi bir şekil çizilir. Simetri aynası şeklin sağına düz bir şekilde konulur. Simetri aynasının bulunduğu noktada düz bir çizgi çizilir. Daha sonra simetri aynasından bakılarak çizdiğimiz şeklin yansımasını görelim ve çizdiğimiz çizginin sağ tarafına yansıyan görüntüyü çizelim.

Birlikte yapalım

Şimdi de çokgenlerin öteleme ve yansımalar sonucunda ortaya çıkan görüntüsünü oluşturalım;

Birlikte Yapalım;

Bir şeklin bir doğru boyunca yansımasından sonra ötelenmesine ya da ötelenmesinden sonra yansımasına ötelemeli yansıma denir. Ötelemenin yönü ve miktarı aynı olmak koşuluyla bir şekle önce yansıma sonra öteleme yapılmasıyla, önce öteleme sonra yansıma yapılması sonucunda oluşan şekil aynı konumdadır.

Birlikte Yapalım;

Sıra Sizde

Yansımaya Günlük Hayatımızdan Güzel Bir Örnek verelim;

MAURITS CORNELIUS ESCHER

MauritsCornelisEscher veya daha çok kullanılan şekliyle M.C. Escher 1898 yılında Hollanda’da doğdu. 1918 yılına kadar, inşaat mühendisi olan babası George Escher, annesi Sarah ve dört erkek kardeşiyle birlikte, doğduğu kent olan Leeuwarden'de yaşadı. Okul hayatı hiçbir zaman iyi olmayan M.C. Escher, çizimlerini gösterdiği grafik öğretmeni SamuelJessurun de Mesquita’nın da tavsiyeleriyle grafik üzerine çalışmayı uygun gördü.

Grafik eğitiminden mezun olduktan sonra hayatının her zaman önemli bir kısmını oluşturacak olan seyahat zevkinin etkisiyle İtalya'ya gitti ve burada birçok çizim yaptı.
Polya’nın makalesinin Escher üzerinde büyük bir etkisi oldu. Escher düzlemin dört izometrisini (elle, mürekkeple) anlatan bütün metni ve Polya’nın düzlemsel döşemeleri simetri gruplarıyla sınıflandırmasını dikkatle not etti. Polya’dan etkilenen Escher, eserlerinde; öteleme, ötelemeli yansıma, simetri, döndürme gibi teknikleri kullandı.
İşte Escher’in eserlerinden bazıları:

GEOMETRİK CİSİMLER

Neler Öğreneceğiz;

* Dik prizmalar

* Dik prizmaların temel elemanlarını

* Dik prizmaların açınımını

* Dik dairesel silindir

* Dik dairesel silindirin temel özellikleri

* Dik dairesel silindirin açınımı

Kazanımlar:

M.8.3.4.1 Dik prizmaları tanır, temel elemanlarını belirler, inşa eder ve açınımını çizer.

a) Somut modellerle çalışmalara yer verilir.

b) Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılabilir.

M.8.3.4.2 Dik dairesel silindirin temel elemanlarını belirler, inşa eder ve açınımını çizer.

a) Somut modellerle çalışmalara yer verilir.

b) Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılabilir.

DİK PRİZMALAR:

Tabanları herhangi bir çokgensel bölge, yan yüzleri dikdörtgensel bölge olan cisimlere dik prizma denir. Dik prizmalarda tabanları birleştiren yanal ayrıtlar tabanlara diktir.

Prizmalar tabanlarına göre isimlendirilir. Üçgen prizma, kare prizma, dikdörtgenler prizması, altıgen prizma, beşgen prizma gibi…

Dik Prizmaların Temel Elemanları;

Prizmalar, taban şekillerine göre isimlendirilirler.

Dik Prizmanın Açınımı:

Kare prizma

Üçgen Prizma

PEKİŞTİRMECEE;

Yukarıda görmüş olduğunuz prizmanın kenar ölçülerini doğru şekilde tahmin ediniz ve farklı kombinasyonlar şeklinde yazabilirsiniz.

DİK DAİRESEL SİLİNDİR:

Tabanları daire, yanal yüzü dikdörtgen olan cisme silindir denir. 2 Tane daire,1 tane dikdörtgen vardır. Konserve tenekesini örnek olarak verebiliriz.

Dik Dairesel Silindirin Temel Elemanları;

» Silindirde tabanların merkezini birleştiren doğruya eksen denir.

» Tabanların karşılıklı iki noktasını birleştiren ve eksene paralel olan doğrular ise silindirin ana doğrularıdır.
» Dairesel silindirin ekseni tabanlara dik ise dik dairesel silindir, tabanlara dik değilse eğik dairesel silindir olarak adlandırılır.
» Silindirin üst tabanının bir noktasından alt tabanına indirilen dikmeye silindirin yüksekliği denir ve h ile gösterilir.

Dik Dairesel Silindirin Açınımı:

PEKİŞTİRMECEE;

Yukarıdaki soruyu okuyup yorumlarınızı yapınız.

ÖRNEK SORULAR:

NELER ÖĞRENECEĞİZ?

-DİK DAİRESEL SİLİNDİRİN YÜZEY ALANI

-DİK DAİRESEL SİLİNDİRİN HACMİ

KAZANIMLAR:

M.8.3.4.3. Dik dairesel silindirin yüzey alanı bağıntısını oluşturur,ilgili problemleri çözer.

a) Somut modellerle çalışmalara yer verilir.

b)Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılır.

M.8.3.4.4. Dik dairesel silindirin hacim bağıntısını oluşturur,ilgili problemleri çözer.

a)) Somut modellerle çalışmalara yer verilir.

b)Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılır.

c)Dik dairesel silindirin hacmini tahmin etmeye yönelik çalışmalara yer verilir.

d)Dik dairesel silindirin hacim bağıntısını dik prizmanın hacim bağıntısı ile ilişkilendirmeye yönelik çalışmalara yer verilir.

SİLİNDİR

Silindir bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında dönmesiyle oluşan cisimdir. O halde dikdörtgenin dönmesiyle oluşan silindirde, dikdörtgenin diğer kenarı silindirin tabanını oluşturan dairenin çevresidir.

SİLİNDİRİN YÜZEY ALANI

Yüzey alanı hesaplanırken önce silindirin açılımında neler olduğunu hatırlayalım. Silindirde yanal alanı oluşturan bir dikdörtgensel bölge ve tabanları oluşturan 2 dairesel bölge vardır.Dikdörtgenin döndürdüğümüz kenarına h, diğer kenarı ise silindirin tabanını oluşturan dairenin çevresi yani 2.π.r olur. Bu sebeple silindirin yanal alanı 2.π.r.h olur.

Dairenin alanının π.r² olduğunu biliyoruz.

Silindirin tabanını oluşturan dairelerin alanlarının toplamı 2.π.r²dir.

Yandaki varil bir silindirdir. Ok işaretiyle gösterilen alan bir dikdörtgenin döndürülmesiyle oluşmuş bir yüzeydir. Silindirin yanal alanıdır.

Bu şekilde ok işaretiyle gösterilen alan silindirin taban alanını oluşturan dairesel bölgelerden biridir. Aynı şekilde karşısında aynı dairesel bölgeden bir tane daha vardır.

Silindirin yüzey alanı bu alanların toplamıdır. Yani yanal alan + taban alanlar = 2.π.r.h + 2.π.r²

ÖRNEK:

ÇÖZÜM: Küçük silindir, büyük silindirin üçte biri olduğundan küçük silindirin yanal alanını bulmak için büyük silindirin yanal alanı hesaplanıp 3’e bölünür. Küçük silindir ile büyük silindirin taban alanları aynı olduğundan büyük silindirin taban alanını bulmak yeterli olacaktır.

TABAN ALANI:

π.r²= 3 x 20²= 1200 Tek tabanının alanı 1200 cm²’dir. 2 taban alan 1200 x 2=2400cm² olur.

YANAL ALAN:

Büyük silindirin yanal alanı = 2.π.r.h = 2 x 3 x 20 x 45=5400 cm²

Küçük silindirin yanal alanı = 5400\ 3=1800 cm²‘dir.

Küçük silindirin yüzey alanı = 2400+1800=4200 cm²olur.

SİLİNDİRİN HACMİ

Dik prizmanın hacmini bulurken de taban alanını bulup h kadar aynı tabandan olduğunu düşünerek silindirde de aynı mantık yürütülebilir.

Taban alanını bularak aynı tabandan h kadar olduğunu düşünürsek silindirin hacmi π.r².h olur.

ÖRNEK:

ÇÖZÜM: Silindir şeklindeki bardağın hacmi = 3 x 25 x 10= 750

Suyun hacmi aynı olacağından 750=3 x 100 x h ise h=2,5 olur.

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

Silindirin tabanını oluşturan dairesel bölgenin çapı en fazla 30 cm yarıçapı en fazla 15 cm olur. Yükseklik ise 100 cm ‘dir.

Bu durumda silindirin hacmi 3x 15²x 100 = 67500 cm3 ‘tür.

DİK PİRAMİTLER

Neler Öğreneceğiz:

· Dik piramiti

· Piramidin temel elemanlarını

· Piramidin açınımını

· Piramidin nasıl inşa edileceği

Kazanımlar:

M.8.3.4.5. Dik piramidi tanır, temel elemanlarını belirler, inşa eder ve açınımını çizer.

a) Somut modellerle çalışmalara yer verilir.

b) Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılabilir.

c) Alan ve hacim problemlerine girilmez.

DİK PİRAMİT:

Tanım: Tabanı bir çokken olan ve yan yüzeyleri bir noktada birleşen üçgenlerden oluşan cisimlere piramit denir.

ETKİNLİK: Etrafınızda veya dünya üzerinde piramite benzeyen eşyalara örnekler veriniz!

ààà(evlerin çatıları , karton yumurta kapları, kamp çadırı)

Piramidin Elemanları:

· Diğer bir çok geometrik cisimde olduğu gibi piramidin alt yüzünde bulunan çokgen piramidin tabanı

Tabana bağlı üçgensel bölgeler piramidin yan yüzleri

Piramidin yüzlerini birleştiren doğru parçaları , piramidin ayrıtları

Ayrıtların kesişim noktaları, piramidin köşeleri

Tabanın karşısında yer alan köşe ise piramidin tepe noktasıdır.

Tepe noktasından tabana inen dikme ise piramidin yüksekliğidir.

*** Tabanların aldığı şekiller piramitlere isimlerini verir.

Piramidin tepe noktasını taban merkezine birleştiren doğru parçasının tabana dik olduğu piramitlere dik piramit , dik olmadığı piramitlere ise eğik piramit denir.

ETKİNLİK: Aşağıdaki şekilde piramidin bütün elemanlarını göstererek yazınız.

PİRAMİDİN AÇINIMI

Pirizmalarda ve silindirde öğrendiğimiz gibi piramidin birbirine denk gelen ayrıtlarını düşünerek piramitlerin açınımlarını çizebilir, açınımı verilen piramidin kapalı hâlini oluşturabiliriz.

Piramidin tepe noktasından tutup , yan yüzeyi taban ayrıtından menteşeli bir şekilde düşünerek tabanın düzlemine yatırırsak ve bunu bütün yan yüzeyler için uygularsak açınımı elde etmiş oluruz.

Örnekler:

ETKİNLİK: Aşağıda verilen linkteki piramit açınımlarını inceleyiniz.

https://www.geogebra.org/m/NRMpep8H

PEKİŞTİRİCİ ÖRNEKLER:

DİK KONİ

Neler Öğreneceğiz:

· Dik koniyi

· Koninin temel elemanlarını

· Koninin açınımını

· Koninin nasıl inşa edileceği

Kazanımlar:

M.8.3.4.6. Dik koniyi tanır, temel elemanlarını belirler, inşa eder ve açınımını çizer.

a) Somut modellerle çalışmalara yer verilir.

b) Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılabilir.

c) Alan ve hacim problemlerine girilmez.

DİK KONİ:

Tanım:

Bir dairenin çevresini oluşturan noktaların , dairenin merkezinden geçen dikme üzerindeki bir noktayla birleştirilmesi sonucu oluşan geometrik cisme Dik Dairesel Koni denir.

ETKİNLİK:

* Bu cisim sizce günlük hayatınızda karşılaşabileceğiniz hangi şekillere benziyor.

(parti şapkası, dondurma külahı, cami minaresi)

DİK KONİNİN ELEMANLARI:

· Silindirde olduğu gibi cismin yere oturabilen yüzü cismin tabanıdır.

Eskiden silindirin üst tabanının merkezi olan nokta koninin tepe noktasıdır.

Tepe noktasıyla taban merkezini birleştiren doğru, dik koninin yüksekliği ve eksenidir.

Tepe noktası ile dairesel tabanı birleştiren yüzey ise dik dairesl koninin yan yüzeyidir.

àààDik konide eksen ile taban birbirine diktir. Dolayısıyla dairenin yarı çapıda eksene diktir ve bir dik üçgen görülür.

Burada yan yüzey uzunluğuna l dersek ; l^2=h^2+r^2 ile bulunur.

DİK DAİRESEL KONİNİN AÇINIMI:

ETKİNLİK:Dik dairesel koniyi açtığımızda nasıl bir görüntü oluşur. Zihninizde canlandırınız defterinize çiziniz.

· Önce koninin yan yüzeyini açalım (Açtığımızda uzunluğu l olan doğruların birleşmesiyle oluşan şekli görüyoruz , yani yarı çapı l olan bir daire dilimidir.)