ÜÇGENLERDE YÜKSEKLİK, KENARORTAY VE AÇIORTAY

TAM KARE POZİTİF TAMSAYILARLA BU SAYILARIN KAREKÖKLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ    

 

    KAREKÖK NEDİR?

Verilen sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemine karekök alma işlemi denir.
,
Karekök ‘ √ ” sembolü ile gösterilir .

Bu sembol  İngilizce kök anlamına gelen "root" kelimesinin ilk harfi olan r'nin zamanla evrimleşmesi sonucunda günümüzdeki formunu aldığını biliyor muydunuz?


Negatif bir sayının karekökü alınamaz çünkü negatif bir sayı hiçbir sayının karesi olamaz.

 ➜ Şimdi karekökü daha iyi kavramak için bir örnek verelim.

ÖRNEK: 9 hangi sayının/sayıların karesidir bulalım.

9 = 3.3 = 32
9 = (-3).(-3) = (-3)2 olduğundan
9 hem 3’ün hem de -3’ün karesidir.             
                                                                                                                 
ÖRNEK: 9–√9 sayısının değerini bulalım.

Bir önceki örnekte gördüğümüz gibi 9, 3 ve -3’ün karesidir. Karekök işlemi de bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulmak olduğunu öğrenmiştik. Buna göre:
Bu yüzden 9–√9 = 6 olur.

BAK; GÖR: KEŞFET

Aşağıdaki şekilde de görüldüğü gibi 1, 4, 9 gibi tam kare sayılarla kenarları tam sayı olan kareler elde edilebiliyor.  Ancak 2, 3, 5, 7 gibi sayılarla kenarları tam sayı olan kareler elde edilemiyor.

Bu alıştırmada gördüğümüz üzere her pozitif tam sayı, bir tam kare belirtmez.
Tam kare sayılar ve karekökleri arasındaki ilişkiyi öğrendik. Şimdi çevremizden elde ettiğimiz gözlem yoluyla yani gerçek hayattan bu konu hakkında örnekler elde edelim.

 ÖRNEK: Alanı 25 br2 olan bir odamız var. Odamızın geometrik olarak bir kare belirttiğini bildiğimize göre kare biçimindeki odanın bir kenar uzunluğunu bulalım.                                                                                                 




Baktığımız zaman karenin dört kenarının eşit olduğunu yani alanımızı   karekök içerisine alarak bir kenarı bulabileceğimizi fark ettik.
                                   Kenarı = 25 -√25= 20  birimdir.         



ÖRNEK:    18 adet   çikolatamız vardır. En   az kaç tane daha çikolata eklenirse tam kare sayı olabilecek şekilde çikolatamız olur ?
Bu sorunun çözümünü şöyle   yorumlayabiliriz  .
 ’18 ‘ sayımız , ‘16’  ve ‘25’ tam kare sayıları arasındadır. Eklememiz istendiği için 25 e tamamlamalıyız.

25-18= 7 değerine ulaşırız.

 Bazıları için sonuç çok başkadır

Tanımlar – Tam Kare Sayı Nedir?

• İki defa aynı tam sayının çarpımıyla oluşan sayılardır.
• Karekökü alındığında tamsayı çıkan sayılardır.

1. Cebirsel ifadeleri de tam kareyi ifade etmek ve karekökleri arasındaki ilişkiyi belirlemek için zaman zaman kullanıyoruz. .En sik kullandığımız cebirsel ifadeler aşağıdaki gibidir.,

👉Tam kare sayılar karekök dışına mutlak değer içinde çıkmaktadır. 👈

                             ALIŞTIRMALAR

Aşağıdaki  tabloyu dolduralım.

Verilen kağıt parçaları bir tam kare ifade belirtmektedir. Tam kare ifadeyi bulup karekökünü   hesaplayalım. 

Tam kare ifadeler ve karekökleri arasındaki ilişkiyi açıklamak için asal çarpanlar ve üslü sayılardan yardım alırız. Çünkü bir sayının 2.kuvveti sayının karesi demektir. Biz bir sayının karesinin tam kare bir ifade belirttiğini öğrenmiştik.

Aynı şekil de verilen bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma yöntemi ile de tam kare ifade oluşturup oluşturmadığını anlarız. Eğer sayı tüm asal çarpanlarının karelerinin çarpımından oluşuyorsa tam kare bir ifade belirtir.

Son olarak aslında fark ettiğimiz durum tam kare bir ifadeyi karekök içine aldığımız da sayının kareyi atarak kök dışına çıktığıdır. Ve kök dışına 1. Kuvveti ile çıkmıştır.
         
                                             
İLGİNÇ BİLGİLER  

• Babiller matematiğinde yaygın olarak kullanıldığı şekliyle 10 tabanlı sistemden farklı olarak 60 tabanlı bir sistem kullanıyordu. Bir saatin 60 dakika olmasının, üçgenin iç açıları toplamının 180 ya da çemberin 360 derece olmasının nedeni budur

• 21978’i 4 ile çarparsanız 87912’ye ulaşırsınız ki bu aynı zamanda 21978’in rakamlarının ters hali olur

• Matematikte X Arapça “şey” kelimesinden gelir. X ya da şey kavramı Matematiğe Arap matematikçiler tarafından kazandırıldı. Şey zamanla X’e dönüştü.

• Çapı “Z” olan ve kalınlığı ise “A” olan bir pizzanın hacmi =  (Pİ x Z x Z x A ) olur.

Hiç zıkkımı karekökten çıkarmaya çalıştınız mı?

ÖRNEK 3

KAREKÖKLÜ SAYILARDA OYUN

-Verilen kareköklü sayıları birbirlerine eşit olarak ilerleyin ve mutlu sona ulaşın 😃

KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ

Yandaki dikdörtgenin alanını bulunuz.,




Dikdörtgenin alanı kısa ve uzun kenarlarının çarpımıdır.

Kareköklü sayılarla çarpma işlemi yapılırken karekök içindeki sayılar çarpılarak çarpım karekök içine yazılır. O hâlde aşağıdaki çarpma işlemlerini yapalım.

Kareköklü ifadelerde çarpma işlemi yapılırken karekök içindeki sayılar çarpılır ve çarpım karekök içine yazılır. Varsa katsayılar çarpılıp katsayı olarak yazılır. Karekök içindeki çarpım tam kare bir sayı ise bu sayının karekökü alınarak sonuç bulunur.

   dir.

ÖRNEK :

ÇÖZÜM:

KAREKÖKLÜ SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ

Yandaki dikdörtgenin alanı 14√48  cm² .Kısa kenarın uzunluğu 2√3 cm ise uzun kenarın uzunluğu nedir?




Dikdörtgenin alanı uzun ve kısa kenarın çarpımıdır. Kısa kenarı sorduğu için alanı uzun kenara bölerek soruyu çözüme ulaştırırız.

BİZDE NE YAPTIK?

Kareköklü bölme işleminde ilk katsayıları birbirine böldük ve katsayı biçiminde yazdık daha sonra kök içindeki verileri kendi içlerinde birbirine böldük ve kök içinde yazdık ve sonuca ulaştık.

ÖRNEK

ÇÖZÜM:
Karenin alanı 8 cm²  ise bir kenar uzunluğu √8= √4.2= 2√2

Verilen √1352= √2.2.2.13.13= 13.2√2= 26√2

26√2 / 2√2 = 13

13.kez döndüğünde cevap c olur.

KAREKÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA

HATIRLATMA!

6. sınıfta ortak paranteze almayı öğrenmiştik.
b +c ifadesinin ortak çarpanı olan a parantezine alarak a.(b+c)  şeklinde yazabileceğimizi hatırlayalım. a.b ve a.c ifadelerinde ortak bir a çarpanı olduğu için bu şekilde yazabildik.
 a√b şeklindeki sayıyı a ve √b sayılarının çarpımı olarak düşünürsek kareköklü ifadelerde de ortak paranteze alma işlemini uygulayabiliriz.

KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ

Toplamada kullandığımız mantığı kareköklü sayıları çıkarırken de kullanabiliriz.

Karekökleri aynı olan sayıları çıkarırken ,

• Karekök dışındaki sayıları çıkarır, karekök dışına yazarız.
• Kareköklü kısmı aynı bırakırız.

ÖRNEK:

2√3 + 5√3 toplamında
İlk  terim, 2 ile √3’ün çarpımıdır.
İkinci terim 5 ile √3’ün çarpımıdır.
Bu terimlerin ikisinde de √3 çarpanı bulunmaktadır. Eğer bu ifadeyi √3 parantezine alırsak  (3+7). √3 ifadesini elde ederiz. Parantez içerisindeki  işlemi yaparsak , sonucun 10√3 olduğunu görürüz.
Kareköklü ifadelerde toplama işlemi yaparken köklere bakarız.
Eğer kökler ortaksa; karekök dışındaki sayıları toplar karekök dışına yazarız.
Kareköklü kısmı aynı bırakırız.

Şimdi birkaç örnek bakalım😊

                           4√5 + 5√5= (4+5).√5=9√5
                           8√4+9√4= (8+9).√4=17√4
                           6√7-√7=(6-1).√7=5√7     

Aşağıdaki alıştırmaları da size bırakıyorum😊

3√3+√3=

4√2+2√2=

NOT: Yukarıda verdiğimiz kural üç veya daha fazla kareköklü ifadenin toplanmasında da geçerlidir. Köklü kısmın aynı olması en önemli noktadır.

ÖRNEK:

3√5+4√5+2√5= ?

Toplanan sayılardaki kareköklü ifadelerin aynı olduğunu görüyoruz. √3 parantezine alırsak işlemi (3+4+2).√3 haline getirebiliriz.

Parantez içindeki işlemi yaptığımızda sonucun 9√3 olduğunu görürüz.

ÖRNEK

Yukarıdaki dikdörtgenin çevresini bulalım.

ALIŞTIRMA

ÇÖZÜM:

Dikdörtgenin çevresi:

3√5+3√5+8√10+8√10=6√5+16√10

Üçgenin çevresi:

6√10+6√10+4√6=12√10+4√6

       Dikdörtgen ve üçgenin çevresi arasındaki fark:

6√5+16√10-12√10-4√6=4√10+6√5+(-4√6)

PROBLEM

√200 TL’ si olan Ali A,B,C,D marka ayakkabılardan farklı iki tanesini almak istiyor. Buna göre Ali parasının tamamı ile hangi iki ayakkabıyı alabilir?

ÇÖZÜM:  

                                                 √200=10√2

√98=7√2

√128=8√2

√162=9√2

√18=3√2

Kök içerisindeki ifadeyi kök dışına çıkardık.  Alabileceğimiz iki ayakkabının toplamı 10√2 olmalıdır. A ve D marka ayakkabının fiyatları toplamı;   7√2+3√2=10√2 ‘dir.

 KAREKÖKLÜ İFADEYİ HANGİ SAYIYLA ÇARPARSAK TAM SAYI OLUR?

√a ile √b’ yi çarptığımızda sonucun tam sayı olabilmesi için a.b çarpımının tam sayı olması gerekir.

      PEKİ NEDEN?

√ile √b ‘nin çarpımı √a.b’ye eşittir. Bu ifadenin tam sayı olabilmesi için √a.b’nin bir tam sayıya dolayısıyla a.b’nin bir tam kare sayıya  eşit  olması gerekir.

ÖRNEK:

√12 sayısını √3 sayısı ile çarpalım.

   12 ile 3 sayısının çarpımı tam kare olduğu için çarpım sonucunda bir tam sayı elde ederiz.

√12.√3= √12.3=√36=6

EŞLEŞTİRME

Aşağıda verilen kareköklü sayıları tam sayı yapan sayılarla eşleştirelim.

               1.√24                                                  a.   √5

               2.  √18                                                b.   √14

               3.   √52                                               c.   √6

               4. √56                                                 d.   √13

               5. √20                                                 e.   √2

CEVAPLAR

1-c         2-e             3-d        4-b         5-a

                         KÖKLÜ SAYI – TAM SAYI BAĞLAMACA OYUNU

Sayı Bağlamaca, eşit aralıklı sayı ve noktalardan oluşan karesel bir zemin üzerinde hazırlanmış zeka oyunudur. Sayıları eşleri ile birleştirmek amaçlanır. Bu eşleştirmeler yapılırken belli kurallar dikkate alınmalıdır : 
Sayılar yatay ya da dikey bağlanabilir. Çapraz bağlanamaz.
Sayıları birbirine bağlayan çizgiler birbirini kesemez. 
Tüm sayılar bağlandığında çizdiğimiz çizgiler oyun karesinde bulunan tüm noktaların üzerinden geçilmelidir.Sayıları bağladıktan sonra tek bir nokta bile açıkta kalmamalıdır.

                                            ONDALIK İFADELERİN KAREKÖKÜ 

Ondalık gösterimlerin karekökleri alınırken; ondalık gösterim rasyonel sayı seklinde yazılır. Pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır.

İrrasyonel Sayılar ve Gerçek Sayılar

Rasyonel Sayılar: a,bÎ Z ve b≠0 olmak üzere I şeklinde gösterilebilen sayılara denir. I şeklinde gösterilmeyen sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi ‘’I’’ ile gösterilir.

Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

Pi sayısı tarihsel gelişimi(3.1416)

Pi Yunan alfabesinin 16. harfi. Matematik dünyasında ve fen bilimlerinde önemli bir yere sahiptir. pi sayısının şu anki değerini hesaplamak için pek çok bilim insanı yıllarını vermiştir. pi sayısının geçmişinin eski Mısır ve Mezopotamya ya dayandığı düşünülmektedir ancak Pi'nin ilk gerçek değerini Siracusalı Archimedes kullandığı belirtilmektedir.

Archimedes önce Düzgün altıgen yandan başlayarak bir çemberi hem içinden hem dışından en kenarlı çokgenler çizerek ve her defasında kenar sayısını iki katına çıkararak pi nin değerini bulma yoluna gitmiştir. Burada amaç çokgenlerin çembersel bir şekle yaklaştırılmasıdır. Bu işlemler sonucunda Archimedes pi sayısının değerini

 233/ 71 <π <22 /7 ya da

3 tam 10/71< π < 3 tam 1/7 olarak( veya 3, 14084 < π < 3,14 1285 olarak) vermiştir.

E sayısının tarihsel gelişimi (2,718281828459...)

e sayısı matematik Doğa bilimleri ve mühendislikte önemli yeri olan sabit bir reel sayıdır.

Ve doğal logaritma nın tabanı olarak kullanılır ancak 300 yıllık bir geçmişe sahip olan e sayısı π sayısı kadar bilinmemektedir.

 Coğrafi Keşifler'in etkisi ile insanlar paralarını artırmanın yollarını ararken paranın büyümesi ile sonucu sonsuza giden kesin matematiksel bir tanım sayesinde  bir ilişki bulmuşlardır. Bu tanım sayesinde uluslararası ticaretlerde finansal alanlarda e sayısı tanınmaya başlanmıştır

e sayısına dolaylı olarak ilk değinen İskoç matematikçi John Napier olmuştur( 1560 1617)

 E sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jacob Bernoulli 1683'te Birleşik faiz problemini incelerken e sayısını keşfederek bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır

Ancak euler 1731 de bu sabit sayıdan e sayısı diye bahseden ilk bilim insanıdır.1737 yılında e sayısının İrrasyonel olduğunu kanıtlayarak Euler sayısı olarak adlandırılmıştır.

ALTIN ORAN

Altın oran, Fi (phi) sayısı olarak bilinir.Matematiksel bir kavramdır ve değeri de 1,618 dir. Fibonacci sayıları ve altın oran matematiğin en ilgi çekici konuları arasındadır. Leonardo Fibonacci 13. yüzyılda yaşamış bir İtalyan matematikçisiydi.

Arı kovanlarında yaşayan dişi arıların sayısının erkek arıların sayısına bolundugunde hep aynı sayı elde edilir. Yani 1.618 Leonardo Da Vinci nin ünlü çıplak erkeğini gösteren Vitruvius adamında da aynı oranlar mevcuttur.

Piramitlerin tabanının yüksekliğine oranı 1.618 sayısını verir.

Leonardo Da Vinci’nin meşhur Mona Lisa heykelinin boyunun enine oranı 1.618′ dir.

Picasso’nun birçok tablosunda da bu oran bulunmaktadır.

 Mimar Sinan’ın yapmış olduğu Süleymaniye ve Selimiye Camileri’nin minarelerinde bu oran görülmektedir. 

Bunların dışında doğada birçok canlıda da bu oran görülüyor. Mesela; İnsan kolunun uzunluğunun dirsek uzunluğuna oranı altın oranı verir. Parmaklarda da yine kollardaki olay geçerlidir.

Altın Oran; CB / AC = AB / CB = 1,618033988749894

Bir doğru parçasının |AB| Altın Oran’a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (C) bölünmelidir ki; küçük parçanın |AC| büyük parçaya |CB| oranı, büyük parçanın |CB| bütün doğruya |AB| oranına eşit olsun.

Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı;

 1,618033988749894…’tür.

Altın Oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, Fi yani Epsilon’dur.

√ 2 NİN İSPATI 

Öncelikle √ 2 sayısının rasyonel olduğunu düşünelim.[1]

1.Bu demektir ki: √ 2 = a/b şeklinde yazılabilir.

2.Eşitliğin iki tarafın da karesini aldığımız takdirde:

2=
A² /B²


/ buradan 2.(a*a) = b*b olur.                       

3. Kareleri alındığında a ve b rasyonel olarak kalabiliyor.Ki bu da bizim en baştaki önkabulümüze uymuyor.Fakat 2 tek başına bir sayının karesi olmadığı için karekök 2 rasyonel değil.Yani ön kabul yanlışlandığı için. p ve q rasyonel , √ 2 irrasyonel bir sayıdır diyebiliriz.

Bu ispat bizzat Pythagoryen bir matematikçi olan Hippasus’a atfedilir.Hayatı hakkında pek az şey biliniyor olsa da kendisi M.Ö. 5 yy. da yaşamış bir Yunan 

matematikçidir.Hippasus kenarları 1 birim olan bir dik üçgenin hipotenüsünün rasyonel bir sayı olamayacağını kanıtlaması ve √2 bulması üzerine, Pisagor’un çok sinirlenip onu denizdeyken tekneden aşağı attığı söylenmektedir. Pisagor evrenin temelinde sayıları görür ve rasyonel olmayan hiç bir şeyi kabul etmez.İrrasyonel bir sayının ispatı ile yıkılır.