3. ÜNİTE OLASILIK VE CEBİR

BASİT OLAYLARIN OLMA OLASILIĞI

Terimler veya kavramlar: olasılık, çıktı, olay, eş olasılık, imkânsız olay, kesin olay

NELER ÖĞRENECEĞİZ?

 Bir olaya ait olası durumları belirleyeceğiz.

“Daha fazla”, “eşit”, “daha az” olasılıklı olayları ayırt edip, örnek vereceğiz.

 Eşit şansa sahip olan olaylarda her bir çıktının olasılık değerinin eşit olduğunu ve bu değerin 1/n olduğunu açıklayacağız.

 Kazanım ifadesindeki n, olası durum sayısını temsil etmektedir.

 Eşit şansa sahip olan ve olmayan olayları ayırt etmeye yönelik çalışmalara yer verilir.

 Olasılığın bir olayın olma şansına (olabilirliğine) ilişkin bir ölçüm olduğu vurgulanır.

 Olasılık değerinin 0 ile 1 arasında (0 ve 1 dâhil) olduğunu inceleyip anlayacağız.

 Basit bir olayın olma olasılığını hesaplayacağız.

Bir olayda bütün çıktıların oluşturduğu durumlara olası durumlar denir.

Bir olayın olasının veya olmamasının olasılığına o olayın olasılığı denir.

Olasılık kavramı anlatılırken en çok bahsedilen konular madeni para ve zar atmadır. Üstte öğrendiğimiz kavramları bu olaylarla ilişkilendirelim.

   

Bir parayı havaya attığımızda yere düşünce üstte kalan yüzünü gözlemleyelim. Üstte kalan kısım ya yazıdır ya da turadır.

Burada yazı(Y) ve tura(T) olmak üzere iki sonuç elde edebiliriz ve bu olayda 2 çıktımız vardır. Üstte yazı veya tura kalmasını istememiz olaydır. Yazı veya tura gelmesi durumlarına da olası durum deriz .
 

Peki havaya aynı anda 2 tane madeni para atarsak ne olur? Bu durumda bütün olası durumları incelemeliyiz.

Aynı anda atıp üste gelen yüzlerin bütün olası durumları görüldüğü üzere 4 tanedir.

   

  Şimdi de bir zarın olası durumlarına bakalım. Bir zarın 6 tane yüzü vardır ve sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamları bulunur. Zarımızı attığımızda gelecek sayının olası durumları ise 6 tanedir.

ÖRNEK:

Ceyda bir vazoda bulunan 4 papatya, 6 gülden bir tanesini arkadaşı Özge’ye verecektir. Ceyda’nın rastgele seçtiği çiçeğin papatya ya da gül olma olası durumlarını incelersek;

Ceyda’nın papatya verme olasılığı gül verme olasılığından daha fazladır. Ceyda’nın gül verme olasılığı ise papatya verme olasılığından daha azdır. Eğer vazodan 2 gülü ayırırsak gül ve papatya verme olasılığı eşittir diyebiliriz.

SIRA SİZDE

Bir sınıfta 30 kişi vardır ve bunların 18’i kızdır. 23 Nisan gösterisinde şiir okumak için rasgele bir kişi seçilecektir. Bu kişinin kız veya erkek olma olasılıklarını inceleyiniz.

HADİ BİRAZ DA OLASILIK HESAPLAYALIM!

Günlük hayatta olasılık kelimesini aslında bilmeden de kullanırız. Çok istediğimiz bir şeyin olup olmama ihtimalini düşünürken bile fark etmeden olasılık kullanırız. Örneğin annemiz haftaya bir gün en sevdiğimiz oyuncağı almaya gidebileceğimizi söylese biz de düşünmeye başlarız hemen. Bir haftada 7 gün vardır. Bu durumda bütün olası durumların 7 olduğunu bilebiliriz. Herhangi bir gün olduğu için gitme ihtimalimizin 7 de bir ihtimal olduğunu biliriz. Aynı şekilde düşünerek de çeşitli durumlarda olasılık hesabı yapabiliriz.

                 

ÖRNEK:  Ali Bey çocuklarıyla bir oyun oynamaya karar verir ve bir torbanın içine eşit büyüklükte özdeş 5 mavi, 6 kırmızı, 9 yeşil top koymuştur. Buradan torbaya bakmadan top çeken çocuklar çektikleri renklere göre farklı ödüller kazanacaklardır.  Ali Bey’in oğlu Mert en yüksek ödüllü olan mavi toplardan çekmek istemektedir. Sizce Mert’in mavi top çekme olasılığı nedir?

   Öncelikle bütün olası durumları incelersek 5+6+9=20 olduğunu görürüz. 20 olası durum içerisinden 5 mavi gelme olasılığını ise oranlayarak bulabiliriz.  =  şeklinde olduğunu görürüz.

Şimdi siz de diğer olayların gelme olasılığını inceleyiniz.

Tüm kareler sayılır, toplam 80 kare vardır ve istenilen renkler tek tek hesaplanır.

Bu durumda; siyah gelme olasılığı: 27/80

Beyaz gelme olasılığı:27/80

Kırmızı gelme olasılığı: 26/80

Örnek: Bir madeni paranın havaya atılması deneyinde 2 çıktımız vardır. Ya yazı ya da tura gelecektir. Bu durumunda ;

Yazı gelme olasılığı  ½

 Tura gelme olasılığı  1/2 dir.

 Bu iki durumun olasılıkları eşit olduğu için eşit şansa sahip diyebiliriz.

 Siz de bir zarda 1, 2, 3, 4, 5, 6 gelme olasılıklarının eşit olup olmadığına bakınız.

Örnek: Sizce 523 437 sayısının rakamlarını tek tek yazıp bir torbaya koyarsak 5 ve 3 gelme olasılığı eşit midir?

Burada 6 tane rakam olduğu için çıktımız 6’dır.

5 için bakarsak bir tane olduğundan 1/6 ,

3 için bakarsak iki tane olduğundan  2/6 olarak buluruz. Olasılıkları farklı çıktığından eşit şansa sahip değillerdir.

    

   

ÖRNEKLENDİRELİM

·         Menemen yapımında soğan açısından yoğun tartışmalar yaşanır. İki olası durum vardır. Soğanlı menemen veya soğansız menemen.  İkiside eşit şansa sahiptir. Sonuçta soğanı ya katarsın ya da katmazsın.

           Peki siz hangi taraftasınız? J

         

            Heyecanlı dakikalar yaşadığımız anlar vardır. Mesela sevdiğimiz basket takımı maçın son dakikalarına gelmiş ve bir oyuncumuz potaya yönelmiş. Topu potaya attı ve durun. Basket olacak mı olmayacak mı ?   Derin nefes alıp verişler…Basket olur mu olmaz mı bilemem ama iki durum da eşit şansa sahip.

Şimdi daha farklı örneklere bakalım ve yeni  kavramları  birlikte genellemeye çalışalım.

ÖRNEK:

     

İçi elma dolu bir sepetten elma çekmemiz kesindir.

ÖRNEK:

T emmuz ayındaysak, gelecek ayın ağustos olması    kesindir.

Yukarıdaki iki örnekte olduğu gibi mutlaka gerçekleşeceğini bildiğimiz durumları olasılıkta “kesin olay “olarak adlandırırız.

ÖRNEK:

Bir zarı attığımızda üst yüzüne 6’dan büyük bir sayı gelmesi imkansızdır.

ÖRNEK:

20 kişilik bir sınıfın tamamı erkek öğrencilerden oluşuyorsa, sınıf başkanının kız olması imkansızdır.

Yukarıdaki iki örnekte de olduğu gibi kesinlikle gerçekleşmeyen veya gerçekleşmeyecek durumları olasılıkta ”imkansız olay” olay olarak adlandırırız.

Şimdi de kesin olay olarak verdiğimiz örnekleri imkansız olaya, imkansız olay olarak verdiğimiz örnekleri kesin olaya dönüştürerek inceleyelim.

·      ÖRNEK(ELMA SEPETİ):  İçi elma dolu bir sepetten çilek çekmemiz imkansızdır.

·      ÖRNEK(AYLAR): Temmuz ayındaysak, gelecek ayın  şubat olması imkansızdır.

·      ÖRNEK(ZAR):  Bir zarı attığımızda üst yüzüne 7’den küçük bir sayı gelmesi kesindir.

·      ÖRNEK(SINIF BAŞKANI):  20 kişilik bir sınıfın tamamı erkek öğrencilerden oluşuyorsa, sınıf başkanının erkek olması kesindir.

     

BUNU ÖĞRENELİM Bir olayın olma olasılığı =   İstenilen olası durumların sayısı                                               Tüm olası durumların sayısı Her durumda gerçekleşecek olaylara kesin olay denir. Kesin olayların gerçekleşme olasılığı “1” dir. Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara imkansız olay denir. İmkansız olayların gerçekleşme olasılığı “0” dır. Bir olayın gerçekleşme olasılığı “0” ile “1” (0 ve 1 dahil) arasındadır. Bir olayın gerçekleşme ve gerçekleşmeme olasılıklarının toplamı “1” dir.

ÖRNEK:

Üzerinde 1’den 6’ya kadar rakamlar bulunan bir zar atıldığında zarın üst yüzüne gelen sayının;

       ÖRNEK:

     Yanda açınımı verilen küp, kapalı hale getirilip atıldığında üst yüze pembe gelmeme olasılığını bulalım.

ÖRNEK:

Bir sınıfta 24 öğrenci vardır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı 2/3 ise bu sınıftaki öğrencilerin sayısını bulalım.

      

ÖRNEK:

1’den 100’e kadar sayıların yazılı olduğu kağıtların olduğu torbadan seçilen kağıdın tek sayı olma olasılığı ile asal sayı olma olasılığı eşit midir? Bulalım.

Tüm sayılarımız 100 tanedir.

1’den 100’ kadar kadar olan asal sayıları incelediğimizde toplamda 25 tanedir.

Tek sayılarımız ise 50 tanedir.

Asal sayı olma olasılığı = 25/100 = 1/4

Tek sayı olma olasılığı = 50/100 = 1/2

İki durumun olma olasılığı eşit değildir.

ÖRNEK:

Bir vazoda 5 tane gül 7 tane lale vardır. Bunlardan bir tanesi işaretlenmiştir. Gözü kapalı olarak vazodan seçilen işaretlenmiş olma olasılığı kaçtır?

  Burada çiçeklerin 5 gül ve 7 lale olarak belirtilmesi sadece şaşıtıcıdır. İstediğimiz durum çiçeğin işaretli olması ve 1 tane işaretli çiçeğimiz vardır.

Cevap : 1/12

  

DÜŞÜN BAKALIM J

Duru, Doruk, anne ve babasından oluşan Yılmaz ailesi, sabah kalkabilmek için saatlerini 07.00’ a kurmuşlardır. Ama bir sorun var. Uyandıklarında saat çoktan 09.00 olmuştur. Saatin bozulmadığına emin olduklarına göre birisi alarma uyanıp kapatmış olmalı. Bu kişinin Duru olma olasılığı nedir?

  

  

BİLGİLENELİM:

Pascal üçgeni ile olasılık hesabı arasında nasıl bir ilişki vardır?

Pascal'ın olasılıklar kuramı ve Pascal üçgeni birbiri ile mantıksal anlamda bağlıdır. Kumarbaz bir arkadaşı ile olasılık tartışırken bu üçgenin faydalı olabileceğini düşündü. Bir şans oyununda kullanılan 52 kart için gelecek ihtimaller bu üçgen yardımı ile hesaplanmıştır. Ayrıca bir yazı tura oyununda paranın birden fazla havaya atılması ile kaç yazının veya kaç turanın geleceği yine bu üçgen yardımı ile hesaplanabilir. Tabii ki Pascal üçgeninin olasılıkta kullanımı yalnızca bu iki olay ile sınırlı değildir. Pascal bu üçgen ile doğadaki bazı çiçekleri incelemiş ve oluşacak yeni çiçeklerin hangi renklerde olabileceğini bu üçgen ile hesaplamıştır.

??Sorular 

1.

2.

 3.

 4.

 5.

 6.

 7.

 8.

OYUN ZAMANI!!!

HAZİNE AVI OYUNU

SORU:

      Yukarıda verilen şekilde her harfe karşılık gelen bir rakam vardır. Bu rakamları size verilen sorudaki olası durumları bularak elde edeceksiniz. Daha sonra oyun karosunda o harfin etrafına bulduğunuz rakam kadar yıldız çizmelisiniz. Bu yıldızlar bizim hazinemizi oluşturmaktadır. Oyun tamamlandığında kaç adet yıldızımız olacağını bulalım.

ÇÖZÜM:  

CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

Neler öğreneceğiz?

• Basit cebirsel ifadeleri anlayıp farklı biçimlerde yazacağız.
• Cebirsel ifadelerin çarpımını yapacağız.
• Özdeşlikleri modellerle açıklayacağız.
• Cebirsel ifadeleri çarpanlara ayıracağız.

HAREZMİ KİMDİR?

Abbasi döneminde yaşamış büyük İslam bilgini olan El Harezmî, cebir ve algoritmayı keşfeden, sıfır rakamını ilk olarak açıklayan, insanlık tarihinin en önemli matematikçilerinden birisidir. Bu muazzam deha sadece matematik ile ilgilenmemiş astronomi ve coğrafya alanlarında yaptığı çalışmaları da günümüze kadar ulaşmıştır.

 Harezmi ‘nin matematik alanındaki en önemli yapıtları Kitab-ül Muhtasar fi Hesab ül Cebr vel Mukabele , Kitâbü’l-Muhtasar fi’l Hisâbü’l Hindî ve El-Mesûhat’dır. El Cebr ve’l Mukabele adlı kitap 600 yıl boyunca Dünya’nın birçok üniversitesinde cebirin temel kitabı olarak kullanıldı.

Cebir, bu kitaba kadar matematik ve geometriye ait bir konu olarak görülüyordu.  Bu kitabında bizlerin denklemlerde x’i yalnız bırakmak adına negatif bir terimi eşitliğin öbür tarafına atarak pozitif hale getirilmesine Harezmi cebri adını verdi.

Gelin birlikte Harezmi ile ilgili aşağıdaki videoyu izleyelim.

https://www.youtube.com/watch?v=Mm1dEwCHBkg&t=218s

CEBİR DEYİNCE AKLINIZDA NE TÜR ŞEYLER CANLANIYOR?

Hadi o zaman hep birlikte rakamları ve sembolleri kullanarak yeni oluşturulan bu yöntemi yani diğer adıyla cebiri inceleyelim.

“ En az bir değişken ve işlem içeren ifadelere cebirsel ifadeler denir. Cebirsel ifadelerdeki harfler, sayıların yerine kullanılmıştır ve değişken olarak adlandırılır.”

Hadi hep birlikte Eda’ya yardım edelim. Sizce bu ifadelerden hangisi cebirsel ifadedir?                                                                                                                                           

                                                                                                       

Peki, arkadaşlar bu ifade eğer bir cebirsel ifade belirtiyorsa tanıma göre bu ifadede değişkenlerin olması gerekir. Sizce değişken kavramı nedir?

Değişken:  Değerini bildiğimiz veya bilmediğimiz herhangi bir sayıyı a,b,c,x,y gibi harflerle gösterebiliriz. Bu şekilde gösterilen sayılara değişken veya bilinmeyen denir.

O halde Ali'nin cebirsel ifadesindeki değişken nedir?

                                                  

Değişkeni öğrendik. Şimdi sıra terim, katsayı ve sabit terimin ne olduğunu öğrenmeye geldi.

“Bir cebirsel ifadede "+" veya "–" işaretleriyle ayrılan kısımlara terim, her bir terimin sayısal çarpanına katsayı ve hiçbir değişkene bağlı olmayan terime sabit terim denir. Sabit terimde cebirsel ifadenin bir katsayısıdır.”

O halde bu tanıma göre aşağıdaki örnekleri yapın.

	Değişken	Terim	Sabit terim	Katsayı
5x-4
3 +5x+7
6x-2y+8
-5y+6+3

CEBİRSEL İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ:

Cebirsel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerini yapabiliyoruz. Peki ya çarpma?  Hadi birlikte inceleyelim.

·        İki ifadeyi birbiri ile çarpmak için, 

• ·        Bu ifadeleri parantez içerisine alarak, çarpım halinde yazar,
• ·        Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak, parantezleri açabiliriz.

Not: tek terimli negatif bir ifadeyi ikinci çarpan olarak yazmadığımız sürece, tek terimden oluşan ifadelere parantez içerisine almadan da çarpma işlemini gerçekleştirebiliriz.

BİRLİKTE İNCELEYELİM!

  Bu dikdörtgenin alanını nasıl buluruz? 

Hepimiz biliyoruz ki dikdörtgenin alanı kısa kenar ile uzun kenarının çarpımı sonucunda bulunur. 

Yani bu dikdörtgenin alanı 10x6=60 tır.

Peki, uzun kenarı ‘’x+3’’ ve kısa kenarı ’’ x+2’’ olan bir dikdörtgen verilirse bunun alanını nasıl buluruz?

Az öncede bahsettiğimiz üzere dikdörtgenin alanın kısa kenar ve uzun kenarın çarpımı olarak bulunuyordu. 

O halde burada da ‘’x+2’’ ve ‘’x+3’’ ifadelerini çarparak bu dikdörtgenin alanını buluruz. 

Hadi gelin hep birlikte bu çarpma işlemini yapalım.

• Birinci cebirsel ifadedeki herbir terim ikinci cebirsel ifadedeki her bir terim ile çarpılır.

ÖRNEK:

Serap hanım, odasının penceresine perde almak için manifaturacıya gitmiştir. Manifaturacıdan aldığı dikdörtgen şeklindeki perdenin kısa kenar uzunluğu ‘’a’’ metre, uzun kenar uzunluğu ‘’3a+2’’ metre olduğuna göre bu perdenin alanını veren cebirsel ifade nedir?

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

(X+1)(X+7)= ?

CEVAP:

ÖRNEK:

(X+1)(X+2)=?

CEVAP:

Kısa kenarı ‘’x+2’’ ve uzun kenarı ‘’x+3’’ olan dikdörtgenin alanını bulurken çarpma işleminin dağılma özelliğini kullanarak yaparsak sizce nasıl olur?

Çarpma işleminde dağılma özelliğinin kuralı şu şekildedir;

• ·        İlk parantezin ilk terimini, ikinci parantezdeki terimlerle tek tek çarparız.
• ·        İlk parantezin ikinci terimini, ikinci parantezdeki terimlerle tek tek çarparız.
• ·        Son olarak da bulduğumuz çarpım sonuçlarını tümünü toplarız.

Bu kuralar göz önünde bulundurulursa (x+3)(x+2) işleminin çarpma işleminde dağılma özelliğini kullanarak aşağıdaki şekilde yapabiliriz

     sonucuna ulaşırız.

Aşağıdaki örnekleri bu kurala göre inceleyim;

BİRAZDA EĞLENELİM:

	A	C	C	B
A					B
C					A
C					A
B					C
	B	A	A	C

A=2x+1;  B=4x+8;  C=7x+6

Oyunumuz bir tablo doldurma oyunudur. ABC harflerini birer kez kullanarak tablo doldurulur. Kenarlarda ipucu olarak verilen harfler, o taraftan bakıldığında görülmesi gereken harflerdir. Tabloyu ABC harfleri doldurduktan sonra ABC harflerine karşılık gelen cebirsel ifade ( 5X+30) ifadesi ile çarpılır ve harfin yerine bu işlemin sonucu gelir. İYİ EĞLENCELER…

ÖZDEŞLİKLER:

Bir eşitliğin özdeşlik olup olmadığını nasıl anlarız?

   Değişken içeren bir eşitlik, değişkenlerin alabileceği tüm değerler için sağlanıyorsa bu eşitliğe özdeşlik ismi verilir.

 Değişken içeren bir eşitliğin özdeşlik olup olmadığını anlayabilmek için eşitliğin sol ve sağ tarafındaki cebirsel ifadelerle ilgili aşağıdaki işlemleri yapabiliriz.

• ·        Parantezleri açar,  terimler arasındaki çarpma işlemlerini yaparız.
• ·        Benzer terimler arasında toplama ve çıkarma işlemleri yaparak iki ifadenin de en sade halini buluruz.

Bu işlemler sonucu elde ettiğimiz eşitlikte

• ·        Sol ve sağ taraftaki tüm terimler aynıysa bu eşitlik bir özdeşliktir.
• ·        Sol ve sağ taraftaki terimler arasında katsayıların farklı olması, bir terimin bir tarafta olup diğer tarafta olması gibi farklılıklar varsa, bu eşitlik bir özdeşlik değildir.

BİRAZDA EĞLENELİM:

Aşağıda verilen tablolarda eşitliği bozan kareler vardır. Bu kareleri bulup karalayalım.

1. 

CEBİRSEL İFADELERDE ÇARPANLARA AYIRMA:

YILDIZLI SORU:

Alanı +5x+6 olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları nedir?

Bu ifadeyi çarpanlara ayırabilmek için öncelikle yukarıda yaptığımız gibi modelleyelim.

Şimdi de bu modellerle bir dikdörtgen oluşturalım.

ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA:

Bir cebirsel ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırmak istiyorsak cebirsel ifadedeki her terimde ortak olarak bulunan bir çarpan bulmalıyız. Bu ortak çarpan parantezin dışına yazılır ve parantezin içine de verilen ifadedeki terimlerin ortak çarpana bölümleri yazılır.

ÖZDEŞLİKLERDEN YARARLANARAK ÇARPANLARA AYIRMA:

  a)     İki kare farkı özdeşliği ile çarpanlara ayırma:

Bazı ifadeler Özdeşlik konusunda öğrendiğimiz iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlara ayrılabilir. Cebirsel ifadedeki iki terim de eğer tam kare ise bu iki terimin kareköklerinin toplamı ile farkı çarpılır.

a)     Tam kare özdeşlikler ile çarpanlara ayırma:

Bazı ifadeler Özdeşlik konusunda öğrendiğimiz tam kare özdeşlikleri kullanarak çarpanlara ayrılabilir. Cebirsel ifadedeki birinci terimin karekökü ile üçüncü terimin karekökünün çarpımının iki katı ortanca terimi veriyorsa bu cebirsel ifade bir tam karedir. Çarpanları ise birinci terimin karekökü ile ikinci terimin karekökünün toplamının karesidir (veya farkının karesidir).

RUTİN OLMAYAN SORULAR